Реферати

Контрольна робота: Апарат теорії подвійності для економіко-математичного аналізу. Аналіз одномірного тимчасового ряду

Мультимедиа технології. Графічні формати. Мультимедиа (лат. Multum + Medium) - одночасне використання різних форм представлення інформації і її обробок у єдиному об'єкті-контейнері.

Екзоцервицит і ендоцервицити. Можливості терапії. Поняття і визначення екзоцервицита. Розвиток екзо- і ендоцервицитов у жінок. Діагностика екзо- і ендоцервицитов. Клінічна картина і лікування.

Стріли ревнощів. Психологічні поняття про ревнощі. До чого приводить ревнощі. Ради для тих, хто ревнує.

Специфіка конструювання деталей одержуваних гнучкої. Установа утворення БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАТИКИ І РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ Кафедра електронної техніки і технології РЕФЕРАТ

Теорія вартості, закон вартості і його функції. Економічні і неекономічні благи. Закон вартості. Величина вартості товару.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО ЗА ОСВІТОЮ ГОУ ВПО

ВСЕРОСІЙСЬКИЙ ЗАОЧНИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

по дисципліні

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І ПРИКЛАДНІ МОДЕЛІ

Варіант №2

Брянськ - 2009

ЗАДАЧА 1

Вирішити графічним методом типову задачу оптимізації

Радгосп для годівлі тварин використовує два вигляду корму. У денному раціоні тварини повинно міститися не менше за 6 одиниць живлячої речовини А і не менше за 12 одиниць живлячої речовини В. Какоє кількість корму треба витратити щодня на одну тварину, щоб витрати були мінімальними? Використати дані таблиці:

Корма

Пітат. речовини

Кількість живлячих речовин в 1 кг корми

1

2

А

В

2

2

1

4

Ціна 1 кг корму, т. крб.

0,2

0,3

Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на максимум і чому?

Рішення. Дана задача оптимізації є задачею лінійного програмування. Визначимо види кормів черезх1их2. Цільовою функцією задачі є загальна вартість кормів, затрачених на годівлю тварин, яка повинна бути найменшою. Число обмежень задачі дорівнює числу живлячих речовин, вхідних до складу кормів - 2. Додатково вводиться умова неотрицательности змінних. Знаючи ціни кормів, вміст живлячих речовин в них можна сформулювати математичну модель задачі лінійного програмування:

Строимобласть допустимих решенийзадачи (див. мал. 1).

Область допустимих рішень задачі

Будуємо вектор-градієнт цільової функції задачі. За його початок приймаємо точку з координатами, рівними коефіцієнтам цільової функції по відповідних координатних осях 0,2 (1; 1,5), тоді кінцем вектора-градієнта буде бути точка з координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градієнту будується пряма, яка характеризує поведінку цільової функції:

Для визначення положення точки мінімуму цільової функції пряма, перпендикулярна вектору-градієнту, зміщається в його напрямі доти, поки вона не покине область допустимих рішень. Гранична точка області допустимих рішень при цьому русі і є точкою мінімуму.

У нашій задачі - це точкаВ, освічена перетином граничних прямих ограниченийIиII. Її координати визначаються рішенням системи

рівнянь цих прямих:

откудаx1*=2;x2*=2 і.

Таким чином, щоб досягнути мінімальних витрат, потрібно витратити щодня на одну тварину по 2 кг кожних види корму при витратах в 1 тис. крб.

Рішення даної задачі лінійного програмування на максимум позбавлене економічного значення, оскільки витрати на корм прагнуть зменшити. Однак математично ця задача має рішення і на максимум: найбільше значення в області допустимих рішень цільова функція приймає в точці (0; 6), і це значення рівне.

мал. 1 - Графічне рішення задачі лінійного програмування

ЗАДАЧА 2

Використати апарат теорії подвійності для економіко-математичного аналізу оптимального плану задачі лінійного програмування

Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три вигляду сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції приведені в таблиці.

Тип сировини

Норми витрати сировини на один виріб

Запаси

сировини

А

Би

В

Г

I

II

III

1

0

4

0

1

2

2

3

0

1

2

4

180

210

800

Ціна виробу

9

6

4

7

Потрібно:

1) Сформулювати пряму оптимизационную задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.

2) Сформулювати подвійну задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорем подвійності.

3) Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.

4) На основі властивостей подвійних оцінок і теорем подвійності:

- проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані початкової задачі;

- визначити, як зміняться виручка і план випуску продукції при збільшенні запасів сировини II і III вигляду на 120 і 160 одиниць відповідно і зменшенні на 60 одиниць запасів сировини I вигляду;

- оцінити доцільність включення в план виробу "Д" ціною 12 ед., на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного вигляду сировини.

Решеніє.1. Дана задача оптимізації є задачею лінійного програмування.

Визначимо кількість изделийх1, що випускаються, х2, х3, х4.

Цільовою функцією задачі є загальна вартість продукції, що випускається, яка повинна бути найбільшою. Число обмежень задачі дорівнює числу ресурсів, що використовуються для виготовлення виробів - 3.

Додатково вводиться умова неотрицательности змінних.

Знаючи ціни виробів, норми їх витрати і запаси ресурсів, формулюємо математичну модель початкової задачі лінійного програмування:

Задачу оптимізації вирішуємо за допомогою надбудови «Пошук рішення» табличного процесора EXCEL (меню «Сервіс»):

р ис. 2 - Надбудова «Пошук рішення»

Використання надбудови дозволило набути значень змінних оптимального плану випуску виробів: Х*=(95; 210; 0; 0). Цільова функція має найбільше для даних умов задачі значениеf(X*)=2115 (прил. 1).

Таким чином, для отримання найбільшої виручки від реалізації продукції слідує производитьx1*=95 изделийА, x2*=210 изделийБи не проводити изделияВ (x3*=0) иГ (х4*=0).

2. Визначимо подвійні оцінки ресурсовI, II, IIIкакy1, y2, y3соответственно. Цільовою функцією подвійної задачі є загальна вартість запасів ресурсів в подвійних оцінках, яка повинна бути найменшою. Число обмежень подвійної задачі дорівнює числу змінних початкової задачі - 4. Математична модель подвійної задачі має вигляд:

При рішенні початкової задачі з допомогою EXCEL одночасно визначається і оптимальне рішення подвійної задачі. У «Звіті по стійкості» (прил. 2) приводяться тіньові ціни ресурсів:y1*=0;y2*=1,5;y3*=2,25.

Наименьшее значення цільової функції подвійної задачі

співпадає з найбільшим значенням цільової функції початкової задачиf(X*). Отже, оптимальний план подвійної задачі визначений вірно.

3. Випуск изделийВиГневигоден для даних умов задачі. Це пояснюється тим, що витрати по них перевищують ціну на 0,5 і 5 відповідно:

Таким чином, випуск изделийВиГубиточен і тому ці вироби не увійшли в оптимальний план (x3*=0) і (х4*=0).

4. Проаналізуємо використання ресурсів в оптимальному плані. Для цього підставимо в обмеження початкової задачі значення змінних оптимального планаХ*=(95; 210; 0; 0) і перевіримо виконання нерівностей:

Видно, що ресурсиIIиIIIиспользуются в оптимальному плані повністю і є дефіцитними, т. е. стримуючими зростання цільової функції. Вони мають відмінні від нуля оценкиy2*=1,5 иy3*=2,25.

Збільшення об'єму ресурсаIIна одну одиницю при незмінних об'ємах інших ресурсів веде до зростання найбільшої виручки на 1,5 крб., а збільшення об'єму ресурсаIIIна одиницю - на 2,25 крб.

РесурсIімеєт нульову подвійну оцінку (y1*=0) і є недефіцитними, т. е. надлишковим в оптимальному плані. Збільшення об'ємів цього ресурсу не вплине на оптимальний план випуску продукції і не збільшить її загальну вартість.

Визначимо, наскільки зміниться виручка продукції, що випускається при заданих змінах запасів сировини. З «Звіту по стійкості» видно, що ці зміни відбуваються в межах стійкості (див. «Допустиме увеличение'и«Допустиме зменшення» правих частин обмежень вприл. 2), що дає можливість відразу розрахувати зміну найбільшої виручки від реалізації продукції, що випускається, не вирішуючи нову задачу лінійного програмування:

При цьому «нова» найбільша виручка складе:

крб.

Зміна запасів ресурсів привела не тільки до зміни значення цільової функції на 540 тис. крб., але і до зміни плану випуску. При цьому структура плану не змінилася: вироби, які були збиткові, не увійшли і в новий план випуску, т. до. ціни на сировині не змінювалися. Новий план випуску становить 75 одиниць изделийАи 330 ед. изделийБ.

Для визначення доцільності включення в план випуску ще і изделияДс заданими характеристиками, розрахуємо вартість ресурсів на виготовлення одиниці цього виробу в тіньових цінах і порівняємо це значення з ціною реалізації:

Отже, продукциюДвипускать вигідне, оскільки витрати на неї менше, ніж її вартість.

ЗАДАЧА 3

Дослідити динаміку економічного показника на основі аналізу одномірного тимчасового ряду

Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався спросY(t)(млн. р.) на кредитні ресурси фінансової компанії. Тимчасової рядY(t) цього показника приведений нижче в таблиці:

t

у t

1

43

2

47

3

50

4

48

5

54

6

57

7

61

8

59

9

65

Потрібно:

1) Перевірити наявність аномальних спостережень.

2) Побудувати лінійну модель, параметри якої оцінити МНК ( - розрахункові, змоделювати значення тимчасового ряду).

3) Побудувати адаптивну модель Брауна з параметром згладжування а= 0,4 і а= 0,7; вибрати краще значення параметра згладжування α.

4) Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковість і відповідність нормальному закону розподілу (при використанні R/S-критерій взяти табульовані межі 2,7-3,7).

5) Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.

6) По двох побудованих моделях здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розрахувати при довірчій імовірності р = 70%).

7) Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.

Обчислення провести з одним знаком в дробовій частині. Основні проміжні результати обчислень представити в таблицях (при використанні комп'ютера представити відповідні лістинги з коментарями).

Решеніє.1. Для виявлення аномальних спостережень використовуємо метод Ірвіна. Для кожного рівня тимчасового ряду розраховується статистика,

де - стандартне відхилення рівнів ряду.

Стандартне відхилення визначається за допомогою вбудованої функції EXCEL «СТАНДОТКЛОН»:Sy=7,29 млн. крб. Розрахунок значенийtдля всіх рівнів ряду, починаючи з другого. Табличне значення критерію Ірвіна для рівня значущості а=0,05 і довжини тимчасового рядаn=9 складає l=1,5. Видно, що жодне із значень ltне перевищує критичного значення, що свідчить про відсутність аномальних спостережень.

2. Лінійну трендовую модель будуємо за допомогою надбудови EXCEL «Аналіз даних... Регресія»:

Рівняння лінійного тренда має вигляд (див. «Коефіцієнти»):.

Кутовий коефіцієнт показує, що попит на кредитні ресурси фінансової компанії за один тиждень зростає в середньому на 2,58 млн. крб.

Коефіцієнт детерминації уравненияR2»0,941 перевищує критичне значення для а=0,05 иn=9, що свідчить про статистичну значущість лінійної моделі і наявність стійкого лінійного тренда у тимчасовому ряду. Саме значениеR2показивает, що зміна попиту у часі на 94,1 % описується лінійною моделлю.

3. Побудова адаптивної моделі Брауна. Модель Брауна будується в декілька етапів.

1) По перших п'яти точках тимчасового ряду методом найменших квадратів оцінюємо параметриа0иа1линейной моделі.

Набуваємо початкових значень параметрів моделі Брауна і, які відповідають моменту времениt=0 (визначені за допомогою функцій EXCEL «ВІДРІЗОК» і «НАХИЛ» відповідно.

2) Знаходимо прогноз на перший крок (t=1):.

3) Визначаємо величину відхилення розрахункового значення від фактичного:.

4) Скорректируем параметри моделі для параметра згладжування =0,4 по формулах:;,

де - коефіцієнт дисконтування даних, що відображає міру довір'я до більш пізніх спостережень; - параметр згладжування (=); - відхилення (залишкова компонента).

По умові =0,4, отже значення b рівне:.

Отримаємо:;,

5) По моделі зі скорректированними параметрамиa0(t) иa1(t) знаходимо прогноз на наступний момент часу:.

Дляt=2:.

6) Повертаємося до пункту 3 і повторюємо обчислення до кінця тимчасового ряду.

7) Обчислимо середню відносну помилку для даного параметра згладжування:

8) Коректування параметрів моделі для =0,7 і =0,3:;

9) Середня відносна помилка для даного параметра:

Таким чином, судячи по середній відносній помилці при =0,4 і =0,7, в першому випадку =4,1%, а у другому випадку =5,0%. Отже, =0,4 - краще значення параметра згладжування, т. до. середня відносна помилка менше.

4. Оцінимо адекватність лінійної моделі. Розраховані по моделі значення попиту, залишки і їх графік були отримані вEXCEL одночасно з побудовою моделі (див. «ВИВЕДЕННЯ »вприл. 4).

Випадковість залишкової компоненти перевіримо по критерію поворотних точок. У нашому випадку загальне число поворотних точок серед залишків составляетр=4.

Критичне число поворотних точок для а=0,05 иn=9 визначається по формулі

Оскільки, залишки признаються випадковими.

Перевіримо незалежність залишків з допомогою критерияДарбина-Уотсона (відсутність автокорреляції). Для расчетаd- статистики використовується вираження, складене з вбудованих функцій EXCEL:

d- статистик має значення (див. прил. 4):;;

Критичні значенияd- статистики для а=0,05 иn=9 складають:d1=0,82;d2=1,32. Оскільки виконується умова,

то немає достатніх підстав зробити той або інакший висновок про виконання властивості незалежності. Перевіримо незалежність залишків по коефіцієнту автокорреляції першого порядку, який рівний (див. прил. 4):.

Для розрахунку коефіцієнта автокорреляції використовувалося вираження, складене з вбудованих функцій EXCEL:

Критичне значення коефіцієнта автокорреляції для а=0,05 иn=9 становить 0,666. Оскільки коефіцієнт автокорреляції не перевищує по абсолютній величині критичне значення, то це вказує на відсутність автокорреляції в ряді динаміки. Отже, модель по цьому критерію адекватна.

Перевіримо рівність нулю математичного очікування рівнів ряду залишків. Середнє значення залишків дорівнює нулю: (визначено за допомогою вбудованої функції «СРЗНАЧ»; див. прил. 4). Тому гіпотеза про рівність математичного очікування значень залишкового ряду нулю виконується.

Нормальний закон розподілу залишків перевіряємо з помощьюR/S- критерію, визначуваного по формулі,

гдеemax;emin- найбільший і найменший залишки відповідно (визначалися за допомогою вбудованих функцій «МАКС» і «МІН»); - стандартне відхилення ряду залишків (визначене за допомогою вбудованої функції «СТАНДОТКЛОН»; див. прил. 4).

Критичні границиR/S- критерію для а=0,05 иn=9 мають значення: (R/S)1=2,7 і (R/S)2=3,7. Так какR/S- критерій попадає в інтервал між критичними межами, то ряд залишків признається відповідним нормальному закону розподілу імовірностей. Модель по цьому критерію адекватна.

Таким чином, виконуються всі пункти перевірки адекватності моделі: модель признається адекватної досліджуваному процесу.

Оцінимо адекватність побудованої моделі Брауна: з параметром згладжування (див. таблиця 2):

Таблиця 2 - Аналіз ряду залишків моделі Брауна

властивість,

що Перевіряється статистики,

що Використовуються Межа

Висновок

найменування

значення

нижня

верхня

Незалежність

d - критерій Дарбина-Уотсона

r (1) - коефіцієнт автокорреляции

d =2,79

- 0,44

0,82

1,32

0,666

Не можна зробити висновок по цьому критерію

r (1) <66

адекватна

Випадковість

Критерій піків (поворотних точок)

6 > 2

2

адекватна

Нормальність

RS-критерій

R/S=

2,7

3,7

неадекватна

Мат. очікування≈0

t-статистик Стьюдента

2,306

адекватна

Висновок: модель статистично неадекватна

5. Оцінимо точність лінійної моделі на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.

Середню відносну помилку апроксимації знаходимо по формулі:

%

ЗначенієEотнпоказиваєт, що передбачені моделлю значення попиту на кредитні ресурси відрізняються від фактичних значень в середньому на 2,57 %. Модель має хорошу точність.

Оцінимо точність моделі Брауна з параметром згладжування:

Модель Брауна також має хорошу точність, однак вона декілька нижче, ніж у лінійної трендовой моделі.

6. Будуємо точковий і интервальний прогнози попиту на 1 і 2 тижні уперед для лінійної моделі:

Прогноз на 1 тиждень уперед (період упрежденияk=1):

1) Точковий прогноз:

млн. крб.

Середнє значення попиту, що прогнозується дорівнює 64,5 млн. крб.

2) Интервальний прогноз

з надійністю (довірчою імовірністю) g=0,7. необхідні розрахунки приведені втаблице 3:

млн. крб.,

гдеtтаб=1,083 - табличне значениеt- критерію Стьюдента для довірчої імовірності g=0,7.

З імовірністю 70 % фактичне значення попиту на кредитні ресурси буде знаходитися в інтервалі від 62,13 до 66,87 млн. крб.

Таблиця 3

t

у t

1

43

16

2

47

9

3

50

4

4

48

1

5

54

0

6

57

1

7

61

4

8

59

9

9

65

16

Середнє

5

-

60

Прогноз на 2 тижні уперед (період упрежденияk=2):

1) Точковий прогноз:

млн. крб.

Середнє значення попиту, що прогнозується дорівнює 66,8 млн. крб.

2) Интервальний прогнозс надійністю g=0,7:

млн. крб.,

З імовірністю 70 % фактичне значення попиту на кредитні ресурси буде знаходитися в інтервалі від 64,29 до 69,31 млн. крб.

Побудуємо прогноз для моделі Брауна на наступні 2 тижні. Параметри моделі, отримані для останнього рівня тимчасового ряду (т. е. дляt=n=9), використовуються для побудови прогнозу попиту по формулі:.

Прогноз на 1 тиждень уперед (період упрежденияk=1):

млн. крб.

З імовірністю 70 % значення попиту на кредитні ресурси буде знаходитися в інтервалі від 63,213 до 70,361 млн. крб.

Прогноз на 2 тижні уперед (період упрежденияk=2):

млн. крб.

Значення попиту на кредитні ресурси буде знаходитися в інтервалі від 65,603 до 73,167 млн. крб.

7. Графік тимчасового ряду попиту будуємо за допомогою надбудови «Діаграма» EXCEL. Заздалегідь виділяється блок осередків «t» і «yt» разом із заголовками, а потім вибирається пункт меню «Вставка»«Діаграма...»:

Далі будується лінію лінійного тренда (меню «Діаграмма'о «Додати лінію тренда...» про «Лінійна»), і встановлюємо «Прогноз» уперед на 2 одиниці і назад на 1 одиницю, а також виведення на діаграмі рівняння тренда і коефіцієнта детерминацииR2.