Реферати

Учбова допомога: Надійність функціонування автоматизованих систем

Істина Православ'я. Hиколай Бердяєв. Істина Православ'я. Визнання духовного значення Православ'я. Православ'я є, насамперед, ортодоксія життя, а не ортодоксія навчання.

Причини виникнення права. ТЕМА 1.2. чи Має зміст установлювати першопричини походження права? Свою думку обґрунтуйте. Зміст, як ніякий, звичайно є. Адже ми повинні бути в курсі того, як виникла наша держава, як виникли закони і права в цій державі, як відбувалося правосуддя в наших предків. Такі знання, дають, як я вважаю, повну картину існування людства.

Оборотні фонди підприємства і шляху поліпшення їхнього використання 2. Міністерство утворення і науки РФ Московський Автомобільно-дорожній Інститут Волзька філія Курсовий проект По дисципліні: "Економіка підприємства"

Податки на додаткову вартість. Інститут керування й економіки Факультет економіки і керування Кафедра фінанси і кредит КУРСОВА РОБОТА З дисципліни: "ПОДАТКИ Й ОПОДАТКОВУВАННЯ"

Вплив маркетингових комунікацій на обсяги продажів. Міністерство утворення РФ Липецкий державний педагогічний університет Курсова робота на тему: "Вплив маркетингових комунікацій на обсяги продажів на прикладі ТОВ "Шинторг"

Пермський Державний Технічний Університет

Кафедра автоматизованих систем управління

Ліпатов И. Н.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

по курсу: "Надійність функціонування автоматизованих систем"

Пермь 1996

ЗМІСТ

Введення

1. Надійність виробів, що неремонтуються

1.1. Проблеми надійності

1.2. Чинники, що впливають на надійність електронної апаратури, на надійність виробів

1.2.1. Чинники, що впливають на надійність при проектуванні

1.2.2. Чинники, що впливають на надійність в процесі виготовлення

1.2.3. Чинники, що впливають на надійність в процесі експлуатації

1.3. Шляхи підвищення надійності

1.4. Основні поняття теорії надійності

1.5. Види надійності

1.6. Основні поняття і теореми теорії імовірностей

1.6.1. Класифікація подій

1.6.2. Теорема складання імовірностей

1.6.3. Теорема множення імовірностей

1.6.4. Теорема повної імовірності

1.7. Кількісні характеристики надійності

1.8. Густина імовірності f(t) часу безвідмовної роботи Т

1.9. Інтенсивність відмов l(t)

1.9.1. Визначення інтенсивності відмов l(t) за результатами випробувань

1.10. Числові характеристики надійності

1.11. Характеристики ремонтопригодности

1.12. Експериментальна оцінка надійності виробів

1.13. Вирівнювання статистичного закону розподілу випадкової величини Т

1.14. Критерій Пірсона

1.15. Критерій Колмогорова

1.16. Закони розподілу відмов і їх основні характеристики

1.16.1. Експонентний закон надійності

1.16.2. Нормальний закон розподілу

1.16.3. Закон розподілу Вейбулла

1.17. Види з'єднання елементів в систему

1.17.1. Послідовне з'єднання елементів в систему

1.17.2. Паралельне з'єднання елементів в систему

1.18. Класифікація методів резервування

1.18.1. Схема постійного резервування

1.18.2. Схема резервування заміщенням

1.18.3. Схема загального резервування

1.18.4. Схема роздільного резервування

1.19. Розрахунок надійності системи з постійним резервуванням

1.20. Розрахунок надійності системи з постійним загальним резервуванням

1.21. Розрахунок надійності системи з постійним поелементним резервуванням

1.22. Режим полегшеного (теплого) резерву

1.23. Режим навантаженого резерву

1.24. Режим ненавантаженого резерву

1.25. Основні кількісні характеристики надійності при поелементном резервуванні заміщенням

1.26. Аналіз надійності систем при резервуванні з дробовою кратністю і постійно включеним резервом

2. Надійність виробів, що ремонтуються (що відновлюються)

2.1. Надійність системи з відновленням

3. Надійність програмного забезпечення

3.1. Порівняльні характеристики програмних і аппаратурних відмов

3.2. Перевірка і випробування програм

3.3. Основні проблеми дослідження надійності програмного забезпечення

3.4. Критерії оцінки надійності програмних виробів

3.5. Критерії надійності складних комплексів програм

3.6. Математичні моделі надійності комплексів програм

3.7. Перевірка математичних моделей

Література

ВВЕДЕННЯ

Наука про надійність - молода наука. Її формування відноситься до середини поточного сторіччя. Але це не означає, що люди не цікавилися і не займалися питаннями надійності техніки, що створюється ними доти, поки не виникла наука про надійність. З перших кроків розвитку техніки стояла задача зробити технічний пристрій таким, щоб воно працювало надійно. Середина поточного сторіччя ознаменувалася новим якісним стрибком в розвитку техніки - широким поширенням великих і малих автоматизованих систем управління (АСУ) різного призначення. Створення і використання такої техніки без спеціальних заходів по забезпеченню її надійності не має значення. Небезпека полягає не тільки в тому, що нова складна техніка не буде працювати (будуть виникати простої), але головним чином в тому, що відмова в її роботі, в тому числі і неправильна робота, може привести до катастрофічних наслідків.

Очевидно, що нова автоматизована техніка, що виконує відповідальні функції, має право на існування тільки тоді, коли вона надійна.

З розвитком і ускладненням техніки ускладнювалася і розвивалася проблема її надійності. Для рішення її була потрібна розробка наукових основ нового наукового напряму - наука про надійність. Предмет її досліджень - вивчення причин, зухвалих відмови об'єктів, визначення закономірностей, яким відмови підкоряються, розробка способів кількісного вимірювання надійності, методів розрахунку і випробувань, розробка шляхів і коштів підвищення надійності.

Наука про надійність розвивається в тісній взаємодії з іншими науками.

Математична логіка дозволяє на мові математики представити складну логічну залежність між станами системи і її комлектуючий частин.

Теорія імовірностей, математична статистика і теорія ймовірностний процесів дають можливість враховувати випадковий характер виникаючих в системі подій і процесів, формувати математичні основи теорії надійності.

Теорія графів, дослідження операцій, теорія інформації, технічна діагностика, теорія моделювання, основи проектування систем і технологічних процесів - такі наукові дисципліни, без яких неможливо був би розвиток науки про надійність. Вони дозволяють обгрунтовано вирішувати задачі надійності.

Основні напрями розвитку теорії надійність наступна.

1. Розвиток математичних основ теорії надійності. Узагальнення статистичних матеріалів про відмови і розробка рекомендацій по підвищенню надійності об'єктів викликали необхідність визначати математичні закономірності, яким підкоряються відмови, а також розробляти методи кількісного вимірювання надійності і інженерні розрахунки її показників. У результаті сформувалася математична теорія надійності.

2. Розвиток методів збору і обробки статистичних даних про надійність. Обробка статистичних матеріалів в області надійності зажадала розвитку існуючих методів і привела до накопичення великої статистичної інформації про надійність. Виникли статистичні характеристики надійності і закономірності відмов. Роботи в цьому напрямі послужили основою формування статистичної теорії надійності.

3. Розвиток фізичної теорії надійності. Наука про надійність не могла і не може розвиватися без дослідження физико - хімічних процесів. Тому велика увага приділяється вивченню фізичних причин відмов, впливу старіння і міцності матеріалів на надійність, різноманітних зовнішніх і внутрішніх впливів на працездатність об'єктів. Сукупність робіт в області дослідження физико - хімічних процесів, що обумовлюють надійність об'єктів, послужила основою фізичної теорії надійності.

У конкретних областях техніка розроблялася і продовжує розроблятися прикладні питання надійності, питання забезпечення даної конкретної техніки (напівпровідникові прилади, суднові установки, транспортні машини, обчислювальна техніка, авіація і т. д.). При цьому вирішується також питання про найбільш раціональне використання загальної теорії надійності в конкретній області техніки і ведеться розробка нових прикладних застосувань, методів і прийомів, що відображають специфіку даного вигляду техніки. Так виникли прикладні теорії надійності, в тому числі прикладна теорія надійності АСУ.

1. НАДІЙНІСТЬ ВИРОБІВ

1.1 Проблеми надійності,

що неРЕМОНТУЮТЬСЯ Проблема надійності виникла по наступних причинах:

1) Різке ускладнення виробів, електронної апаратури, велика кількість елементів, вхідних до складу виробу. Чим складніше і точніше апаратура, тим менш вона надійна;

2) Зростання складності системи перевищує зростання надійності елементів в цій системі;

3) Функція, яку виконує виріб, буває дуже відповідальної і відмова виробу може дорого обійтися.

Приклад: відмова апаратури управління виробничим процесом може привести не тільки до припинення виготовлення продукції, але може викликати серйозну аварію.

До яких наслідків можуть привести відмови електронної апаратури військового призначення, враховуючи величезну руйнівну силу ядерної зброї.

4) Виключення людини - оператора з процесу управління. Це зумовлене скоротечностью процесів або шкідливими умовами труда. Важливим чинником безвідмовності апаратури є здатність людини приймати рішення при управлінні складним об'єктом.

5) Складність умов, в яких здійснюється експлуатація апаратури.

Академік Берг: "Не одне досягнення науки і техніки, як би ефективно воно не було, не може бути повноцінно використане, якщо його реалізація буде залежати від "капризів" малонадежной апаратури".

1.2 Чинники, що впливають на надійність електронної апаратури, на надійність виробу

При аналізі надійності доцільно розглядати три етапи в створенні апаратури або виробу.

1. Проектування

2. Виготовлення

3. Експлуатація

1.2.1 Чинники, що впливають на надійність при проектуванні

1. Кількість і якість елементів в системі впливає на надійність. Збільшення кількості елементів, що використовуються приводить до різкого погіршення надійність апаратури. До погіршення надійності приводить застосування менш надійних елементів.

2. Режим роботи елементів. Найнадійніші елементи, працюючі у важкому, не передбаченому для їх застосування режимі, можуть стати джерелом частих відмов. Для кожного елемента встановлюються технічні умови на режим роботи елемента. Необхідно правильно вибрати режими роботи елементів.

3. Застосування стандартних і уніфікованих елементів різко підвищує надійність системи. Технологія виробництва цих елементів відпрацьована, надійність їх відома.

4. Конструктор повинен передбачити хороший доступ до блоків, елементів апаратури для огляду, ремонту; передбачити сигналізацію про відмову того або інакшого елемента.

1.2.2 Чинники, що впливають на надійність в процесі виготовлення

1. Якість матеріалів. Необхідний хороший вхідний контроль матеріалів і комлектуючий виробів, що поступають від інших підприємств.

2. Якість зберігання матеріалів і комлектуючий виробів.

3. Чистота робочих місць, обладнання, робочого приміщення.

4. Дотримання технології виготовлення і зборки: термообробка, антикорозійні покриття і т. п.

1.2.3 Чинники впливаючі на надійність в процесі експлуатації

1. Кваліфікація обслуговуючого персоналу. Цей чинник доведений практикою.

2. На надійність впливають зовнішні умови: кліматичні умови, вібрації, перевантаження, удари. Часте включення і вимкнення апаратури небажане.

3. На надійність впливає чинник часу. Тривалість експлуатації апаратури з моменту випуску із заводу до капітального ремонту може становити декілька років. До кінця цього періоду підвищується небезпека виникнення відмов окремих елементів.

1.3 Шляхи підвищення надійності

1. Усунення впливу чинників, що приводять до зниження надійність апаратури.

2. Резервування (замість одного виробу ставлять два). Другий виріб резервний. Якщо відмовить 1-е виріб, то підключають 2-е виріб.

3. Збір під час експлуатації апаратури повних і достовірних даних про відмови і простої апаратури. Ця інформація може використовуватися при рішенні задачі підвищення надійності апаратури.

1.4 Основні поняття теорії надійності

Теорія надійності це наука, що вивчає закономірності особливого роду явищ - відмов технічних пристроїв.

Надійність - це більш вузька характеристика виробу, чим якість виробу.

Якість виробу - це сукупність властивостей, що визначають придатність виробу для роботи у відповідності зі своїм призначенням. До таких властивостей відносяться надійність, точність, зручність і т. д.

Надійність - властивість виробу виконувати задані функції в заданих умовах експлуатації.

Надійність - властивість виробу зберігати значення заданих параметрів в заданих межах при певних умовах експлуатації.

Надійність знаходиться в суперечності з точністю, габаритами і вагою виробу. Чим менше габарити виробу, тим менш воно надійно.

Другим фундаментальним поняттям теорії надійності є поняття відмови.

Відмова - це подія, після настання якого виріб перестає виконувати свої функції.

Відмови ділять на раптові, поступові, що перемежаються.

Раптова відмова - відбувається внаслідок стрибкоподібної зміни характеристик виробу.

Поступова відмова - відмова, виникла внаслідок поступової зміни характеристик виробу внаслідок зносу, старіння елементів виробу.

Відмова, що Перемежається - відмова, що самоусується, виникаюча внаслідок тимчасово діючих причин.

Відмови в АСУ доцільно поділяти на аппаратурние і програмні.

Аппаратурним відмовою прийнято вважати подію, при якій виріб втрачає працездатність і для його відновлення потрібно проведення ремонту апаратури або заміна виробу, що відмовив на справне.

Програмною відмовою вважається подія, при якій об'єкт втрачає працездатність внаслідок недосконалості програми (недосконалість алгоритму рішення задачі, відсутність програмного захисту від збоїв, відсутність програмного контролю за станом виробу, помилки в представленні програми на фізичному носії і т. д.). Характерною ознакою програмної відмови є те, що усувається він шляхом виправлення програми.

Другорядні несправності: дефекти і неполадка.

Дефект - це несправність, яка приводить до відмови не відразу, а через деякий час. Приклад: порушення ізоляції проводу, а згодом коротке замикання.

Неполадка - несправності, що не приводять до відмови виробу (перегорання лампочки освітлення шкали).

Ремонтопригодность - приспособленность виробу до попередження, виявлення і усунення відмов.

Збереження виробу - властивість виробу зберігати свою здібність до роботи в певних умовах зберігання.

Довговічність (технічний ресурс) - це сумарна тривалість роботи виробу, обмежена зносом, старінням або іншим граничним станом.

Ресурс - це встановлений час, по витіканню якого експлуатація виробу недопустима. Приклад: авіаційний двигун: ресурс 500 годин.

Безвідмовність - властивість виробу безперервно зберігати працездатність в течії деякого часу або деякого напрацювання.

Працездатність - такий стан виробу, при якому воно здібно виконувати задані функції, задовольняючи вимогам нормативно - технічної документації. Працездатність - характеристика стану виробу в деякий момент часу.

Напрацювання - це тривалість або об'єм роботи виробу.

Напрацювання повністю - тривалість або об'єм роботи виробу до виникнення першої відмови.

Середнє напрацювання повністю - математичне очікування напрацювання виробу повністю першого.

Однак для АСУ, інформаційних мереж і обчислювальної техніки виявилося, що цих понять для характеристики надійності недостатньо. У практиці створення і використання АСУ знаходять застосування додаткові поняття, без урахування яких не можна в повній мірі представити комплексне поняття "надійність". Розглянемо ці поняття.

1. Живучість - властивість об'єкта зберігати працездатність (повністю або частково) в умовах несприятливих впливів, не передбачених нормальними умовами експлуатації. Головне значення вимоги до живучості об'єкта складається не тільки в тому, щоб він тривалий час працював безперервно без відмови в нормальних умовах експлуатації і щоб його можна було швидко відремонтувати, але також і в тому, щоб він в ненормальних умовах експлуатації зберігав працездатність, хоч би і обмежену.

2. Достовірність інформації, що видається об'єктом. При роботі обчислювальної машини або тракту передачі інформації можуть бути відсутнім відмови. Тому об'єкт може володіти високою безвідмовністю, хорошою довговічністю, сохраняемостью і ремонтопригодностью. Однак в ньому можуть мати місце збої, що спотворюють інформацію. У виробі "ламається", "псується" не апаратура, а інформація. Це не менш небезпечна "поломка".

1.5 Види надійності

При дослідженні надійності часто ставиться задача визначити причини, що приводять до формування тієї або іншої сторони надійності. Без цього неможливо намітити правильну програму робіт по підвищенню надійності. Це приводить до ділення надійність на:

Апаратну надійність, зумовлену станом апаратури;

Програмну надійність об'єкта, зумовлену станом програм;

Надійність об'єкта, зумовлену якістю обслуговування;

Надійність функціональна.

Особливої уваги заслуговує поняття "програмна надійність", оскільки її важлива роль в забезпеченні надійності АСУ є однією з самих характерних особливостей прикладної теорії надійності АСУ. Поняття "програмна надійність" виникло внаслідок наступних основних причин. У інженерній практиці все більше значення придбавають програмно-керовані вироби: програмно-керовані станки; обчислювальні машини і системи машин; системи передачі даних АСУ і інш. Для цих виробів характерне те, що вони є органічним злиттям технічних засобів (апаратура) і програми. Без програмного забезпечення обчислювальний комплекс, або тракт передачі даних, - це "мертвий" набір технічних пристроїв, який оживає тоді і тільки тоді, коли він використовується як єдине ціле з програмою. Тому говорити про надійність таких пристроїв безглуздо, якщо не враховувати впливу програмного забезпечення.

Облік впливу програмного забезпечення приводить до необхідності виділяти в особливий вигляд програмну надійність об'єктів.

Надійність функціональна - надійність виконання окремих функцій, що покладаються на систему. АСУ, як правило, система многофункциональная, т. е. вона призначається для виконання ряду функцій, різних по своїй значущості. Вимоги до надійності виконання різних функцій можуть бути різними (наприклад, для функції "розрахунок зарплати" потрібно висока точність, але не потрібно жорсткого обмеження часу). Тому може виявитися доцільним задавати різні вимоги до виконання різних функцій. Прикладом функціональної надійності в АСУ може бути надійність передачі певної інформації в системі передачі даних.

1.6 Основні поняття і теореми теорії імовірностей

Надійність виробу залежить від численного комплексу чинників, визначуваних як внутрішніми властивостями виробу, так і впливом зовнішніх умов.

Це приводить до того, що процес виникнення відмов, а також інші характеристики надійності носять випадковий характер.

Для дослідження випадкових явищ використовуються ймовірностний методи.

Розглянемо поняття подія.

Подія - це всякий факт, який внаслідок досвіду може статися або не статися.

Приклади подій:

А - поява герба при киданні монети.

У - попадання в мету при пострілі.

З - відмова виробу.

Д - безвідмовна робота виробу.

Подія достовірна - якщо воно обов'язково з'являється внаслідок даного досвіду.

Неможлива подія - якщо воно не може з'явитися внаслідок даного досвіду.

Випадкова подія - подія, яка може з'явитися, а може і не з'явитися внаслідок даного досвіду.

Імовірність події - це міра можливості появи цієї події.

Більш вірогідними є ті події, які відбуваються частіше.

Менш вірогідними є ті події, які відбуваються рідше.

Мало вірогідними є ті події, які майже ніколи не відбуваються.

Достовірній події можна приписати імовірність, рівну одиниці.

Неможливій події можна приписати імовірність, рівну нулю.

Р(А) - імовірність події Передбачимо, що внаслідок кожного досвіду реєструється поява або непоява деякої події m - число появлений події А при n дослідах;

n - загальне число зроблених дослідів.

Тут - частота події про.

Частота події при nо¥ сходиться по імовірності до імовірності цієї події.

де Е - будь-яке наперед задане, як бажане мале позитивне число.

1.6.1 Класифікація подій

Декілька подій в даному досвіді утворять повну групу подій, якщо внаслідок досвіду повинно з'явитися хоч би одне з них.

Приклади подій, створюючих повну групу:

1) випадання герба і випадання цифри при киданні монети;

2) поява 1,2,3,4,5,6 очок при киданні гральної кістки;

3) попадання і промах при пострілі;

4) безвідмовна робота виробу і відмова виробу.

Неспільні події: декілька подій називаються неспільними в даному досвіді, якщо ніякі два з них не можуть з'явитися разом.

Якщо в даному досвіді можуть мати місце дві неспільних події, то вони називаються протилежними.

А - подія (безвідмовна робота виробу)

- протилежна подія (відмова виробу)

Сумою декількох подій називається подія, що перебуває в появі хоч би однієї з цих подій;

Твором декількох подій називається подія, що перебуває в спільній появі всіх цих подій.

1.6.2 Теорема складання імовірностей

Імовірність суми n неспільних подій рівна сумі імовірностей цих подій.

Сума імовірностей n неспільних подій, створюючих повну групу подій, рівна одиниці;

де - неспільні події, створюючі повну групу.

Слідство: Сума імовірностей двох протилежних подій рівна одиниці.

1.6.3 Теорема множення імовірностей

Залежна подія - це така подія, імовірність якого залежить від того, сталися або не сталися інші події.

Незалежна подія - це така подія, імовірність якого не залежить від того, сталися або не сталися інші події.

Імовірність твору n незалежних подій рівна твору імовірностей цих подій.

Умовна імовірність:

- умовна імовірність події А при умові, що подія В мало місце.

Імовірність твору двох подій рівна твору імовірності 1-го події на умовну імовірність 2-го події, при умові, що 1-ое подія мала місце:.

1.6.4 Теорема повної імовірності

Нехай потрібно визначити імовірність деякої події А, яке може статися разом з однією з подій

Події утворять повну групу n неспільних подій. Будемо називати ці події гіпотезами.

Імовірність події А визначається формулою

- формула повної імовірності.

де - імовірність здійснення гіпотези;

- умовна імовірність події А при умові, що подія мала місце.

1.7 Кількісні характеристики надійності.

Заздалегідь розглянемо поняття "випадкова величина".

Випадкова величина - величина, яка внаслідок досвіду може прийняти те або інакше значення, причому зазделегідь невідома, яке саме.

Приклади випадкової величини:

1) Інтервал часу між сусідніми відмовами ЕОМ;

2) Інтервал часу від початку роботи виробу повністю першого або час безвідмовної роботи;

3) Число деталей, виготовлених робітником в одиницю часу.

Визначимо через Т - час безвідмовної роботи виробу (інтервал часу від початку роботи виробу повністю першого ). Т - випадкова величина. Величина Т також називається напрацювання на відмову виробу. t - можливі значення випадкової величини

- імовірність того, що час безвідмовної роботи виробу буде більше або дорівнює деякому значенню t. Іншими словами, імовірністю безвідмовної роботи називається імовірність того, що при заданих умовах експлуатації в течії інтервалу часу t не виникне відмови, т. е. система буде прецездатний.

Імовірність відмови:

- імовірність того, що час безвідмовної роботи виробу менше деякого заданого значення t.

Іншими словами, імовірністю відмови є імовірність того, що в течії заданого часу станеться хоч би одна відмова.

Функція являє собою функцію розподілу випадкової величини

А = В + З; Р(А) = Р(В) + Р(З);

звідки

Р(З) = Р(А) - Р(В); Р(А) =; Р(В) =;

Р(З) =;

Отже

= -;

або

= -;

Введемо в розгляд подію А. Собитіє А означає, що, т. е. в інтервалі часу від 0 повністю t не станеться.

Введемо в розгляд подію. Подія означає, що Т < t, т. е в інтервалі часу від 0 до t станеться відмова. Події А і є протилежними, т. до. вони утворять повну групу подій. Події утворять повну групу, якщо внаслідок досвіду одне з них обов'язкове повинно статися.

З теорії імовірностей відомо, що сума імовірностей протилежних подій рівна одиниці, т. е.

Р(А) + Р;

Р(А) = Р(Т ³ t); Р= Р(Т < t);

Отже

Р(Т³)(t) + Р(Т <= 1 або

Р(t) + q(t) = 1

Для імовірності безвідмовної роботи справедливе наближене співвідношення

Р(t) », де =

Тут n(t) - число виробів, що не відмовили до моменту часу t;)(

N - Число виробів, поставлених на випробування.)(

Випробування виробів повинні провестися при однакових умовах так, щоб відмови виробів були незалежні один від одного.)(

Для імовірності відмови справедлива наближена рівність;

)( де. )(

Тут N - n(t) - число виробів, що відмовили до моменту часу t.)(

1.8 Густина вероятностиf(t) часу безвідмовної работиT;

)( - частота відмов.)(

Тут - густина імовірності випадкової величини Т або частота відмов.)(

об імовірність того, що відмова виробу станеться на інтервалі часу. )(

Для густини імовірності часу безвідмовної роботи Т справедлива наближена рівність:)(,

де - оцінка частоти відмов.)(

Тут N - число виробів, поставлених на випробування, - число виробів, що відмовили на дільниці часу (t, t + Dt).)(

1.9 Інтенсивність отказовl(t)

Розглянемо імовірність безвідмовної роботи виробу на проміжку часу від до при умові, що виріб до моменту часу не відмовляв.)(

Визначимо цю імовірність через. )(

0 Т

Подія А - виріб працював безвідмовно на інтервалі часу від 0 до. )(

Подія В - виріб працював безвідмовно на інтервалі часу від до (=+ )

AB - твір подій А і В. Проїзведенієм подій А і В є подія, що полягає в спільній появі цих подій.)(

Р(AB) = Р(А) Р(В/А).)(

Р(В/А) - умовна імовірність події В при умові, що подія А сталося (мало місце).)(

Р(А) = Р(t) - імовірність безвідмовної роботи виробу на інтервалі часу від 0 до t

Р(В/А) = Р(AB) / Р(А);)( Р(В/А) = P.

Но імовірність Р(AB) є імовірність безвідмовної роботи) виробу на інтервалі;

т. е. Р(AB) = P.

Поетому

Р(.

Імовірність відмови виробу на інтервалі рівна;

Оскільки =+, то;

;;

Введемо позначення;

(1.2);

- інтенсивність відмов.

При малому Dt з (1.1) маємо.

Звідси. (1.3)

З (1.3) видно, що інтенсивність відмов являє собою відношення імовірності відмови на інтервалі (t, t + Dt) до довжини цього інтервалу (при малому Dt).

З (1.1) маємо.

З (1.2) маємо.

Звідси;

або (1.4);;

або (1.5)

Для практично важливого окремого випадку; формула (1.4) приймає вигляд

(1.6)

Формула (1.6) називається експонентним законом надійності. На практиці цей закон в зв'язку з його простотою знайшов широке застосування при розрахунку надійності виробів.

Графік функції l(t):

l(t)

1-й дільниця 2-й дільниця 3-й дільниця

0 t

1 - й дільниця - період приработки виробу.

2 - й дільниця - період нормальної роботи.

3 - й дільниця - період старіння або зносу виробу.

1.9.1 Визначення інтенсивності отказовl(t) за результатами випробувань

Інтенсивність відмов l(t) може бути визначена за результатами випробувань. Нехай на випробування поставлене N виробів. Нехай n(t) - число виробів, що не відмовили до моменту часу t. Тоді:;;;;

де Dn(t) - число виробів, що відмовили на інтервалі часу (t, t + Dt). Тоді:

або

1.10 Числові характеристики надійності

Розглянуті кількісні характеристики надійності є функціями часу. Для визначення цих характеристик на основі досвідчених даних з достатньою точністю потрібно великий об'єм випробувань. Більш просто знайти числові характеристики надійності. До них відносяться:

1) середній час безвідмовної роботи;

2) дисперсія часу безвідмовної роботи;

Визначимо середній час безвідмовної роботи або математичне очікування випадкової величини T. Імеєм

Величина також називається середнє напрацювання на відмову.

Відомо, що f(t) =. Тоді:.

Цей інтеграл можна обчислити по частинах;

u = t;;

du = dt; v = Р(t); ;

т. до. Р(t) при tо¥ убуває швидше, ніж зростає t.

Для експонентного закону надійності маємо:;.

Отже, для експонентного закону надійності середній час безвідмовної роботи є величина, зворотна інтенсивності відмов.

Наближене значення можна визначити по формулі, де

Тут - час безвідмовної роботи i - го виробу; N - загальне число виробів, поставлених на випробування.

Визначимо дисперсію часу безвідмовної роботи. Маємо;

.

Інтеграл беремо по частинах;

;;

v = Р(t);;

Для експонентного закону надійності маємо:;;.

Інтеграл беремо по частинах:

u = t; ;

du = dt;;;;;

Дисперсія характеризує міру розкиду значень Т відносно.

На основі результатів випробувань можна визначити наближене значення дисперсії;

де.

1.11 Характеристики ремонтопригодности

Розглянемо систему тривалого (багаторазового) використання. У цьому випадку система після відмови відновлюється і потім продовжує функціонувати.

Час відновлення системи - сумарний час виявлення і усунення відмов.

залежить від багатьох чинників, що мають випадковий характер (вигляд відмови, тип і число елементів, що відмовили ).

- випадкова величина.

Ремонтопригодность системи характеризується наступними ймовірностний характеристиками:

1) імовірність виконання ремонту в заданий час;

2) імовірність невиконання ремонту в заданий час;

3) густина імовірності часу відновлення;

4) інтенсивність відновлення;

5) середній час відновлення;

6) дисперсія часу відновлення.

Імовірність виконання ремонту в заданий час - це імовірність того, що відмова виробу буде усунена в течії заданого t.

Імовірність невиконання ремонту в заданий час - це імовірність того, що відмова виробу не буде усунена в течії заданого часу t.

Густина імовірності часу відновлення рівна.

Подія А - відмова виробу не усунена на інтервалі часу від 0 до t.

Подія В - відмова виробу не усунена на інтервалі часу від до.

АВ - твір подій А і В. Проїзведенієм подій А і В є подія, що полягає в спільній появі цих подій

Р(AB) = Р(А) Р(В/А).

Р(В/А) - умовна імовірність події В при умові, що подія А сталося (мало місце).

- імовірність того, що відмова виробу не усунена на інтервалі часу від 0 до t.

Р(В/А) = Р(AB) / Р(А).

Імовірність Р(AB) є імовірність того, що відмова виробу не усунена на інтервалі

т. е. Р(AB) =

- імовірність того, що відмова виробу не усунена на інтервалі часу при умові, що відмова виробу не була усунена на інтервалі часу від 0 до t.

Таким чином;

- імовірність того, що відмова виробу буде усунена на інтервалі часу при умові, що відмова виробу не була усунена на інтервалі часу від 0 до t..

Нехай; тоді;

;;.

Таким чином:; (*)

або:

З (*) маємо;

або;

або; ;

імовірність виконання ремонту в заданий час.

При отримуємо експонентний закон ремонтопригодности

Визначимо середній час відновлення: ;;;

Це інтеграл можна обчислити по частинах

u = t;;

du = dt;;;;

- дисперсія часу відновлення

У разі експонентного закону ремонтопригодности маємо:;.

1.12 Експериментальна оцінка надійності виробів

Для рішення теоретичних і практичних задач надійності необхідно знати закони розподілу початкових випадкових величин. При оцінці надійності виробів може вирішуватися задача визначення за даними експлуатації або спеціальних випробувань середнього часу безвідмовної роботи, середнього часу відновлення.

Розглянемо випадкову величину Т - час безвідмовної роботи. При експлуатації або випробуваннях виробів в течії певного часу випадкова величина Т може прийняти n різних значень. Сукупність цих значень випадкової величини Т називається статистичною вибіркою об'єму n. Ця вибірка може використовуватися для статистичної оцінки закону розподілу випадкової величини

При великому числі n зручніше перейти від статистичної вибірки до статистичного ряду. Визначаємо діапазон значень випадкової величини Т.,

де, - максимальне і мінімальне значення випадкової величини

де K- кількість інтервалів. Доцільно вибирати число інтервалів порядку 10 - 20. Визначимо через кількість значень випадкової величини Т, що попали в інтервал i - й довжини. Вважаємо; i = 1, 2,...,

Визначаємо статистичну густину імовірності часу безвідмовної роботи Т.

Результати зведемо в таблицю:

Наочне уявлення про закон розподілу випадкової величини Т дають статистичні графіки. З них самі поширені: полігон, гістограма, статистична функція розподілу.

Полігон будується таким чином: на осі абцисс відкладаються інтервали, i = 1, 2,. . k,. в серединах інтервалів будуються ординати, рівні частотам і кінці ординат сполучаються.

Побудова гістограми: над кожним інтервалом, i = 1, 2,. . k. будується прямокутник, площа якого рівна частоті в цьому інтервалі.

Побудова статистичної функції розподілу випадкової величини Т. Над кожним інтервалом проводиться горизонтальна лінія на рівні ординати, рівній величині накопиченої частоти.

Другий спосіб побудови статистичної функції розподілу випадкової величини Т:,

де - частота виконання події. ,

де - число дослідів, при яких

Статистична густина імовірності і статистична функція розподілу випадкової величини Т представляють статистичний закон розподілу випадкової величини 1.13 Вирівнювання статистичного закону розподілу випадкової величини Т

На практиці число дослідів nограничено, і статистичний закон розподілу є якимсь наближенням до теоретичного (істинному) закону розподілу випадкової величини Т. Стремятся підібрати таку теоретичну криву, яка б відображала істотні риси статистичного закону розподілу і не відображала б випадковості через малу кількість даних. Вигляд закону розподілу підбирають з істоти задачі, або на зовнішній вигляд статистичного закону розподілу.

Будемо апроксимувати статистичний закон розподілу випадкової величини Т експонентним законом розподілу f(t).

Для експонентного закону розподілу маємо;

.

Треба визначити параметри вибраного закону розподілу. Вибраний експонентний закон розподілу залежить від одного параметра. Оцінку параметра визначимо через. Оцінку ми визначаємо з результатів дослідів.

Використовуємо для визначення метод моментів; прирівнюємо теоретичні і статистичні моменти даного закону розподілу. Маємо.

Тут - перший теоретичний момент. За результатами дослідів визначаємо статистичний перший момент. Маємо;

де - час безвідмовної роботи i - го виробу; n - число дослідів або число виробів, поставлених на випробування. Прирівнюємо ці моменти

або

звідки

Приклад 2: з результатів дослідів визначимо i =1, 2,. .., k.

Будемо апроксимувати статистичний закон розподілу випадкової величини Т нормальним законом розподілу f(t) вигляду

Треба визначити параметри вибраного закону розподілу. Вибраний нормальний закон розподілу залежить від двох параметрів і. Визначимо оцінки і цих параметрів з результатів дослідів. Використовуємо для визначення і метод моментів. Теоретичні моменти закону розподілу випадкової величини Т:

початкові моменти порядку S визначаються співвідношенням;

S = 1, 2,...;

центральні моменти порядку S визначаються формулою;

S = 1, 2,. ..

Тут.

Визначимо і ( - початковий момент 1 - го порядку; - центральний момент 2 - го порядку). Маємо:;;

Таким чином; ;

За результатами дослідів визначаємо статистичні моменти і.

Маємо:;.

Прирівнюємо і, і; Маємо

=, =;

або,.

Отже; .

Для оцінки міри розходження статистичного закону розподілу з теоретичним законом розподілу вибираємо міру розходження, по величині якої можна судити про те, чи викликане розходження випадковими причинами, або різниця між розподілами настільки велика, що вибраний теоретичний закон розподілу непридатний.

Визначимо міру розходження через, яка може бути вибрана різними способами.,

де - статистична функція розподілу випадкової Т; q(t) - функція розподілу випадкової величини ;;

де частота попадання випадкової величини Т в інтервал, i = 1, 2,. .., K;

- імовірність попадання випадкової величини Т в інтервал, i = 1, 2,. . K..

Чим менше, тим краще узгодиться статистичний закон розподілу з теоретичним законом розподілу.

Висуваємо гіпотезу Н про те, що вибраний нами закон розподілу випадкової величини Т не суперечить статистичному закону розподілу. На основі статистичного матеріалу, що є потрібно перевірити цю гіпотезу H. Широко використовуються два критерії перевірки гіпотези Н: критерій Пірсона і критерій Колмогорова.

1.14 Критерій Пірсона

Розбиваємо отримані в дослідах значення Т на k інтервалів:

k - число інтервалів. Висуваємо гіпотезу Н про те, що вибрана теоретична густина імовірності випадкової величини Т є функція f(t).

Як величина вибираємо величину, визначувану по формулі;

де n - число дослідів (число відмов);

- частота попадання випадкової величини Т в інтервал;

- кількість значень випадкової величини Т, що попали в інтервал;

- імовірність попадання випадкової величини Т в інтервал; ;;

i = 1, 2,. .., K;;

- це випадкова величина.

Можна довести, що якщо вірна гіпотеза Н, то при розподіл величини незалежно від вигляду функції f(t) прагне до розподілу з числом мір свободи;

де K - число інтервалів, r - число параметрів функції f(t), що оцінюються за результатами дослідів, за результатами статистичної вибірки об'єму n.

Т. про. при;

Нехай - таке число, що можна вважати практично неможливим здійснення події з такою імовірністю.

Якщо те.

малоймовірна подія для гіпотези Н.

Т. о, в цьому випадку гіпотеза Н відхиляється, т. е вибрана теоретична густина імовірності не узгодиться з результатами дослідів.

Область Область

- область прийняття гіпотези Н (вибрана теоретична густина імовірності узгодиться з результатами дослідів).

- область відхилення гіпотези Н.,

n - порядку сотень.

1.15 Критерій Колмогорова

Критерій Пірсона можна застосовувати як для безперервних, так і для дискретних випадкових величин. Критерій Колмогорова застосовується тільки для безперервних випадкових величин.

При використанні критерію Колмогорова порівнюються статистична функція розподілу випадкової величини Т і вибрана теоретична функція розподілу q(t). Передбачається, що значення параметрів функції q(t) відомі.

Якщо параметри теоретичної функції розподілу q(t) невідомі, то замість параметрів можуть використовуватися оцінки цих параметрів, отримані за результатами дослідів, т. е. по статистичній вибірці. У цьому випадку приймають.

Визначаємо.

Визначаємо величину;

- випадкова величина.

Висуваємо гіпотезу Н про те, що вибрана нами теоретична функція розподілу не суперечить статистичній функції розподілу.

Колмогоров довів наступну теорему.

Якщо вірна гіпотеза Н, то при незалежно від вигляду функції q(t) випадкова величина має функцію розподілу вигляду;

тоді.

Методика перевірки гіпотези Н по критерію Колмогорова:

1) визначаємо статистичну функцію розподілу;

2) визначаємо;

3) для заданого визначаємо по таблиці розподіли Колмогорова.

Якщо, то гіпотеза, що перевіряється Н відхиляється, т. е. вибрана теоретична функція розподілу q(t) не узгодиться (суперечить) статистичній функції розподілу.

Якщо <, то гіпотеза, що перевіряється Н приймається, т. е. теоретична функція розподілу q(t) не суперечить функції распрделения.

Область Область

- область прийняття гіпотези Н,

- область відхилення гіпотези 1.16 Закони розподілу відмов і їх основні характеристики

Розглянемо закони розподілу випадкової величини Т, де Т - час безвідмовної роботи виробу повністю першого (час напрацювання на відмову).

1.16.1 Експонентний закон надійності

При експонентному законі розподілу часу безвідмовної Т інтенсивність відмов є постійною, т. е..

Випишемо формули по яких визначаються кількісні характеристики надійності.

Експонентний закон надійності справедливий для опису раптових відмов, коли виріб не устигає ще знестися, т. е. не старіє.

Для експонентного закону імовірність безвідмовної роботи на якомусь інтервалі часу не залежить від минулого часу, а залежить від. .

Тут - імовірність безвідмовної роботи виробу на інтервалі часу при умові, що на інтервалі часу (0, t) виріб працював безвідмовно.

1.16.2 Нормальний закон розподілу

Він характеризує імовірність відмови при тривалій зміні характеристик виробу (старіння, знос). Нормальний закон розподілу характеризує розподіл часу безвідмовної роботи виробу при виникненні відмов через знос і старіння.

Густина розподілу часу безвідмовної роботи Т виробу рівна:,

де, - параметри закону розподілу.

- середнє значення випадкової величини Т;

- дисперсія випадкової величини Т;

Маємо;

;;

Для нормального закону розподілу q(t) прийме вигляд.

Введемо нову змінну:;;.

Якщо, то.

Отже.

Введемо в розгляд нормовану функцію Лапласа,,.

Властивості функції Лапласа

1)

2)

3)

Запишемо q(t) у вигляді;

;.

Визначимо імовірність безвідмовної роботи виробу в інтервалі часу

Визначимо інтенсивність відмов. Маємо

Визначимо - час безвідмовної роботи виробу на інтервалі часу при умові, що на інтервалі часу виріб працював безвідмовно. Маємо;

1.16.3 Закон розподілу Вейбулла

Для розподілу Вейбулла густина розподілу часу безвідмовної роботи Т виробу має вигляд;

тут а і k - параметри закону розподілу Вейбулла.

Визначимо q(t). Мається

Введемо нову змінну х вигляду;

Визначимо Р(t). Маємо;

Визначимо. Отримаємо

Визначний середній час безвідмовної роботи. Мається

Введемо нову змінну u вигляду;

якщо t = 0, то u = 0.

якщо t = ¥, те u = ¥.

- гамма - функція

Визначимо дисперсію часу безвідмовної роботи ;

якщо t = ¥, те u = ¥.

Відоме наступне співвідношення для гамма - функції.

Отже.

Тоді

Розглянемо випадок, коли k = 1; а =.

У цьому випадку маємо.

Т. е. в цьому випадку маємо експонентний закон надійності.

Нехай k = 2. У цьому випадку маємо закон Релея. Закон Вейбулла краще описує час безвідмовної роботи виробу, чим експонентний закон, т. до. в цьому випадку є два параметри: а і k. Нехай k = 2; Тоді маємо;

- закон розподілу Релея.;;;;

1.17 Види з'єднання елементів в систему

1) Послідовне з'єднання.

2) Паралельное з'єднання.

1.17.1 Послідовне з'єднання елементів в систему

З'єднання елементів називається послідовним, якщо відмова, хоч би одного елемента приводить до відмови всієї системи. Система послідовно сполучених елементів прецездатний тоді, коли прецездатний всі її елементи.

Розрахуємо надійність системи при послідовному з'єднанні елементів в систему. Розрахувати надійність системи - це означає за заданими кількісними характеристиками надійності елементів визначити кількісні характеристики надійності системи.

Розглянемо події, i = 1, 2,. .., n.

Подія означає безвідмовну роботу елемента i за час t.

Вважаємо, що події незалежні, т. е. імовірність події P() не залежить від події, j¹i.

У цьому випадку елементи системи називаються незалежними в значенні надійності.

Розглянемо подію

Подія А має місце, якщо одночасно виконуються події, i = 1, 2,. .., n. Отже подія А дорівнює твору подій, т. е.

...

З теорії імовірностей відомо, що в цьому випадку.

..

Визначимо - імовірність безвідмовної роботи системи за час t.

- імовірність безвідмовної роботи i - го елемента за час t.

Звідки. ..

Т. о., імовірність безвідмовної роботи системи за час t рівна твору імовірностей безвідмовної роботи за час t елементів системи.

У окремому випадку, коли всі елементи системи однакові, маємо

Виразимо імовірність безвідмовної роботи елементів через їх інтенсивність відмов.

Маємо;

i = 1, 2,. .., n

Запишемо формули для визначення імовірності безвідмовної роботи системи. Маємо

або

де

Тут - інтенсивність відмов системи.

Т. о., при послідовному з'єднанні елементів їх інтенсивність відмов складається, і інтенсивність відмов системи є сума інтенсивностей відмов елементів системи.

Імовірність відмови системи на інтервалі часу (0, t) рівна

або

Інтенсивність відмов системи

Середній час безвідмовної роботи системи

У разі експонентного закону надійності всіх елементів маємо:;;;;;

Т. про. закон розподілу часу безвідмовної роботи системи є експонентним.

Визначимо середній час безвідмовної роботи системи. Маємо;

1.17.2 Паралельне з'єднання елементів в систему

1 Тут відмова всього з'єднання елементів наступає тільки тоді, коли відмовляють все вхідні в з'єднання елементи.

Розглянемо події, j = 1, 2,. .. m.

2 Подія означає відмову елемента j. Вважаємо, що події. .. - незалежні, т. е. імовірність появи події P() j не залежить від події, i¹j. У цьому значенні елементи з'єднання називаються незалежними в значенні надійності.

Розглянемо подію В.

m Подія В означає відмову всіх вхідних в з'єднання елементів. Подія В має місце, якщо одночасно виконуються події, j = 1, 2,..., m. Отже, подія В дорівнює твору подій, т. е.

З теорії імовірностей відомо, що в цьому випадку

Визначимо

- імовірність відмови системи;

- імовірність відмови j - го елемента.

Звідки

або

Т. о., імовірність відмови системи паралельно сполучених елементів рівна твору імовірностей відмов всіх елементів цього з'єднання.

Імовірність безвідмовної роботи системи

або

1.18 Класифікація методів резервування

Резервування - це спосіб підвищення надійності системи шляхом введення в систему надлишкових елементів.

Систему з надлишковими елементами називають резервованою.

За способом включення в систему резервних елементів розрізнюють постійне резервування і резервування заміщенням.

1.18.1 Схема постійного резервування

Е0 При постійному резервуванні резервні елементи сполучені паралельно з основними елементами в течії всього часу роботи і знаходяться в однакових умовах Е1 роботи з основними елементами.

Всі елементи сполучені постійно, перебудова схеми при відмовах елементів не відбувається, елемент, що відмовив не відключається.

Еm Плюси постійного резервування - простота, відсутність перерв в роботі, можливих при інших способах резервування.

Нестачі постійного резервування - підвищена витрата ресурсу резервних елементів, оскільки резервні елементи знаходяться в робочому навантаженому режимі.

При резервуванні замещениием відключається основний елемент і включається резервний елемент. Ця операція може виконуватися автоматично або вручну.

1.18.2 Схема резервування заміщенням

В залежності від використання резервних елементів до Е0 моменту їх включення в роботу розрізнюють три типи режимів резервування:

1) Режим навантаженого (гарячого) резерву;

2) Режим полегшеного (теплого) резерву;

3) Режим ненавантаженого (холодного) резерву;

Режим навантаженого (гарячого) резерву.

У цьому випадку резервні елементи находяться в тому ж режимі, що і основний елемент. Надійність резервного елемента співпадає з надійністю основного елемента.

Режим полегшеного (теплого) резерву.

У цьому випадку резервні елементи знаходяться в полегшеному режимі до моменту їх включення в роботу. Надійність резервного елемента в цьому випадку вище за надійність основного елемента.

Режим ненавантаженого (холодного) резерву.

У цьому випадку резервні елементи находяться у вимкненому стані до моменту їх включення в роботу замість основного елемента.

Помітимо, що при способі постійного резервування резервні елементи знаходяться тільки в режимі навантаженого резерву. При резервуванні заміщенням резервні елементи можуть знаходитися в будь-якому з трьох режимів.

Резервування заміщенням вимагає додаткових пристроїв для контролю стану елементів, вимкнення елементів, що відмовили і включення резервних елементів.

Ця група пристроїв називається перемикачами.

Перемикачі володіють деякою ненадійністю. Тому при оцінці надійності системи треба враховувати це факт.

Резервування називається загальним, якщо резервується вся система.

1.18.3 Схема загального резервування

Резервування називається роздільним (поелементним), якщо резервуються окремо елементи системи.

1.18.4 Схема роздільного резервування

1.19 Розрахунок надійності системи з постійним резервуванням

При постійному резервуванні резервні елементи 1,2,...,m сполучені паралельно з основним (робітником) елементом в течії всього періоду роботи системи. Всі елементи сполучені постійно, перебудова схеми при відмовах не відбувається, елемент, що відмовив не відключається.

Визначимо імовірність відмови системи.

Імовірність безвідмовної роботи системи..

Будемо називати елементи системи равнонадежними, якщо

j = 0, 1,. .., m

Для равнонадежних елементів маємо.

При експонентному законі надійності окремих елементів маємо.

Тоді;

.

Визначимо середній час безвідмовної роботи резервованої системи.

Введемо нову змінну х вигляду;

Якщо t = 0, то х = 0;

Якщо t = ¥, те х = 1;

У результаті отримаємо

Запишемо формулу для визначення суми n членів геометричної прогресії

де - перший член суми; - n - ий член суми; q - знаменник прогресії;

();.

Вираження

є сума n членів геометричної прогресії, де q = х; n = m + 1;

Отже;

де - середній час безвідмовної роботи нерезервованої системи. Введемо позначення;

Для різних значень m маємо

m = 0; а = 1;

m = 1; а = 1,5;

m = 2; а = 1,83.

Результати зведемо в таблицю

За даними таблиці будуємо графік залежності а від m.

1.20 Розрахунок надійності системи з постійним загальним резервуванням

Резервування називається загальним, якщо резервується вся система, що складається з послідовного з'єднання n елементів.

Основний ланцюг містить n елементів.

Число резервних ланцюгів рівне m, кратність резервування рівна m. Загальне число резервних елементів рівне mn.

Визначимо кількісні характеристики надійності у разі постійного включення резервних ланцюгів.

Введемо позначення

i = 1, 2,. .., n - імовірність безвідмовної роботи елемента Еio;

j = 1, 2,. .., m; i = 1, 2,. .., n - імовірність безвідмовної роботи елемента Еij.

Запишемо імовірність безвідмовної роботи j - ой ланцюги

j = 0, 1,. .., m (1.7)

Імовірність відмови j - ой ланцюги

(1.8)

Визначимо імовірність безвідмовної роботи системи

(1.9)

Підставимо (1.7) в (1.9). Отримаємо

Визначний імовірність безвідмовної роботи системи

Окремий випадок: основна і резервні ланцюги мають однакову надійність, т. е.

Тоді;

;

Розглянемо експонентний закон надійності, т. е.

Тоді;

або

- інтенсивність відмов ланцюга, що складається з n елементів.

Імовірність безвідмовної роботи системи.

Визначимо інтенсивність відмов системи;

;

Визначимо середній час безвідмовної роботи резервованої системи

де - середній час безвідмовної роботи нерезервованої системи.

Т. про. із збільшенням кратності резервування m середній час безвідмовної роботи зростає, але дуже повільний. Найбільший приріст спостерігається при переході від нерезервованої системи до резервованої з кратністю m= 1.

1.21 Розрахунок надійності системи з постійним поелементним резервуванням

При поелементном резервуванні резервуються окремо елементи системи.

Визначимо кількісні характеристики надійності системи.

Введемо позначення:

i = 1, 2,. .., n - імовірність безвідмовної роботи елемента Еio на інтервалі часу (0, t);

j = 1, 2,. .., m; i = 1, 2,. .., n - імовірність безвідмовної роботи елемента Еij на інтервалі часу (0, t).

Запишемо імовірність відмови i - й групи.

Маємо

i = 1, 2,. .., n.

Запишемо імовірність безвідмовної роботи i - ой групи. Мається

Запишемо імовірність безвідмовної роботи системи з поелементним резервуванням

або

Для равнонадежних елементів системи маємо:

1.22 Режим полегшеного (теплого) резерву

Розглянемо випадок, коли час безвідмовної роботи всіх елементів виробу підкоряється експонентному закону розподілу. У цьому випадку процеси, що характеризують роботу виробу є марковскими. Для визначення характеристик надійності можна використати математичний апарат теорії марковских випадкових процесів.

У режимі полегшеного резерву резервні елементи знаходяться в режимі недовантаження до моменту їх включення в роботу. Нехай l1 - інтенсивність відмови резервного елемента в режимі недовантаження до моменту їх включення в роботу. l0 - інтенсивність відмови резервного елемента в стані роботи.

Введемо в розгляд стану,

S0 - основний елемент справний і працює, m резервних елементів справні і знаходяться в режимі недовантаження.

S1 - основний елемент відмовив, працює 1 - ий резервний елемент, (m - 1) резервні елементи справні і знаходяться в режимі недовантаження.

S2 - відмовив 1 - ий резервний елемент, працює 2 - ой резервний елемент, (m - 2) резервних елементів справні і знаходяться в режимі недовантаження.

Si - відмовив i - й резервний елемент, працює i - й резервний елемент, (m - i) резервних елементів справні і знаходяться в режимі недовантаження.

Sm - відмовив (m - 1) - ий елемент, працює m - ий резервний елемент.

Sm+1 - відмовив m - ий резервний елемент.

Запишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова. Для цього введемо позначення:

P0(t) - імовірність знаходження резервованої системи в момент часу t в стані S0.

Pi(t) - імовірність знаходження резервованої системи в момент часу t в стані Si, i = 0, 1,. .., m, m + 1.;

...

....

Початкові умови:.

Застосуємо до системи диференціальних рівнянь Колмогорова перетворення Лапласа. Отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь вигляду: Pi(t) - оригінал

Pi(S) - зображення по Лапласу

i= 0, 1,. .., m +1.

..

...

Вирішуючи систему рівнянь отримаємо

Знайдемо оригінал. Маємо

де

Тут - імовірність відмови резервованої системи з полегшеним резервуванням.

Визначимо імовірність безвідмовної роботи системи з полегшеним резервуванням. Маємо:

Визначимо середній час безвідмовної роботи системи з полегшеним резервуванням. Маємо:

Формула бінома Ньютона

де

При а = 1 маємо:

Виконавши перетворення, отримаємо:

де.

Визначимо частоту відмов резервованої системи. Маємо;

або

Визначимо інтенсивність відмов резервованої системи. Маємо

1.23 Режим навантаженого резерву

Полегшене резервування займає проміжне положення між навантаженим і ненавантаженим резервуванням.

При l1 = l0 маємо режим навантаженого резерву.

У цьому випадку

Визначимо частоту і інтенсивність відмов в режимі навантаженого резерву. Маємо:

1.24 Режим ненавантаженого резерву

При маємо режим ненавантаженого резерву.

У цьому випадку

Знайдемо оригінал. Маємо

Визначимо імовірність безвідмовної роботи системи з ненавантаженим резервом. Маємо:

Визначимо середній час безвідмовної роботи системи з ненавантаженим резервом.

де - ейлеров інтеграл другого роду.

Відомо, що

Тоді

Для гамма - функції справедливі співвідношення

Отже

Тоді

Отримаємо формулу для частоти відмов. Маємо.

Таким чином

Визначимо інтенсивність відмов. Маємо

або

1.25 Основні кількісні характеристики надійності при поелементном резервуванні заміщенням

l1 l2 liln

Тут n - число елементів основної (що резервується) системи; m - кратність резервування; li - інтенсивність відмов елемента i - го типу основної системи.

Імовірність безвідмовної роботи системи обчислюється по формулі

де - імовірність безвідмовної роботи елемента i - го типу резервованого за способом заміщення.

Холодний резерв

Теплий резерв

де;

Тут l - інтенсивність відмови резервного елемента i - го типу в режимі недовантаження до моменту включення його в роботу:

Холодний резерв

Теплий резерв

1.26 Аналіз надійності систем при резервуванні з дробовою кратністю і постійно включеним резервом

Визначимо кількісні характеристики надійності при постійно включеному резерві. Резервована система складається з окремих систем. Для її нормальної роботи необхідно, щоб справними були не менш ніж h систем. Кратність

1 l0 резервування такої системи рівна:

2 l0

3 l0 Допущення:

1) Відмови елементів задовольняють умовам найпростішого потоку випадкових подій;

2) Перемикаючі пристрої ідеальні.

3) Основні і всі резервні системи равнонадежни.

Ці допущення означають, що для будь-якої окремо взятої системи справедливий експонентний закон надійності, причому всі резервні елементи знаходяться в робочому стані з моменту включення резервованої системи в роботу.

Резервована вказаним способом система буде працювати нормально при наступних можливих ситуаціях:

- жодна з систем не відмовила

- відмовила одна система

- відмовили дві системи

- відмовили - h систем

Приймаючи вказані ситуації за гіпотези, імовірність безвідмовної роботи можна записати у вигляді (1.10)

де - гіпотеза, що полягає в тому, що резервована система працює справно при відмові i - будь-яких систем; P() - імовірність появи гіпотези; - h - число резервних систем.

Відмови окремих систем є подіями незалежними, що відбуваються при однакових умовах роботи окремих систем. У цьому випадку до приведених гіпотез застосовна приватна теорема про повторення дослідів, і імовірності гіпотез підлеглі біноміальному розподілу:

(1.11)

де P0 - імовірність безвідмовної роботи однієї системи; - імовірність відмови однієї системи.

Підставляючи (1.11) в (1.10), отримаємо

(1.12)

Оскільки

те (1.13)

Або (1.14)

де - імовірність безвідмовної роботи резервованої системи.

При прийнятих допущеннях

де - інтенсивність відмов будь-якої однієї з систем.

Визначимо середній час безвідмовної роботи системи.

Маємо:

Введемо позначення.

Визначимо J. Імеєм:

Тоді вираження для визначення прийме вигляд:.

Або (1.15)

Отримаємо вираження частоти відмов. Маємо

(1.16)

Отримаємо вираження інтенсивності відмов системи. Маємо

(1.17)

2. НАДІЙНІСТЬ ВИРОБІВ,

що РЕМОНТУЮТЬСЯ (Що ВІДНОВЛЮЮТЬСЯ) 2.1 Надійність системи з відновленням

систему, що Відновлюється доцільно розглядати як систему масового обслуговування, в якій потік заявок на обслуговування являє собою потік відмов апаратури. Каналами обслуговування є ремонтні бригади, поновлюючі працездатність апаратури.

Будемо вважати, що потік заявок на обслуговування - пуассоновский.

Потік відновлень - також пуассоновский.

У цьому випадку для аналізу надійності системи, що відновлюється можна використати теорію марковских випадкових процесів.

Маємо нерезервовану систему, що відновлюється, що складається з одного елемента. Система знаходиться під дією пуассоновского потоку відмов з інтенсивністю l. Після відмови система починає негайно відновлюватися (ремонтуватися). Потік відновлень - пуассоновский з інтенсивністю m.

У будь-який момент часу система може знаходитися в одному з двох станів:

- стан працездатності,

- стан відмови (ремонту),

- імовірність знаходження системи в стані,

- імовірність знаходження системи в стані.

Потрібно визначити функцію готовності і функцію простою нерезервованої системи, що відновлюється.

Функція готовності співпадає з імовірністю прецездатний стану, т. е.

=.

Функція простою співпадає з імовірністю відмови, т. е.

=.

Складемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова. Маємо

(2.1)

Передбачимо, що при t = 0 система знаходилася в прецездатний стані, т. е.

Для будь-якого моменту часу t маємо

(2.2)

З двох рівнянь (2.1) одне є зайвим, т. до. і пов'язані співвідношенням (2.2). Враховуючи це, відкинемо друге рівняння, а в перше рівняння замість підставимо 1 -. Маємо:

або (2.3)

Будемо шукати рішення рівняння при ненульових початкових умовах.

Запишемо рішення рівняння (2.3). Маємо:

або

Таким чином

Визначимо. Маємо:

Таким чином:

При тривалій експлуатації, т. е. при tо¥ маємо:

де - коефициент готовності системи, - коефициент простою системи.

Враховуючи, що,.

де - середній час безвідмовної роботи системи;

- середній час відновлення (ремонту) системи,

маємо;

;,;

Таким чином, коефіцієнт готовності характеризує частку часу, в течії якого система прецездатний. Коефіцієнт простою характеризує частку часу, в течії якого система ремонтується.

Визначимо коефіцієнт готовності і коефіцієнт простою системи, вмісної основний і n - 1 резервних елементів, що знаходяться в навантаженому режимі. Елементи, що Відмовили утворять чергу на ремонт, який здійснюється однією бригадою з інтенсивністю m. Інтенсивність відмови будь-якого елемента рівна l.

Введемо в розгляд стану,,. ..,:

- прецездатний все n елементів

- відмовив один елемент, інші прецездатний

- відмовили два елементи, інші справні

- відмовили i елементів, інші справні.

..

- відмовила вся система, т. е. відмовили все n елементів.

Побудуємо граф стану системи.

Складемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова. Маємо:

...

де - імовірність знаходження системи в момент часу t в стані, i = 0,1..., n

В сталому режимі маємо:;;

У результаті отримаємо систему алгебраїчних рівнянь вигляду:

З системи алгебраїчних рівнянь маємо:

Для імовірностей станів справедливе наступне співвідношення;

Визначимо. Маємо:.;

або

Звідси

Коефіцієнт готовності:

3. НАДІЙНІСТЬ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

Дослідження в області програмної надійності знаходяться на початковому етапі свого розвитку.

Доцільно виділити дві сторони програмного забезпечення об'єкта: програмну надійність об'єкта - властивість об'єкта виконувати задані функції, зумовлені якістю програмного забезпечення; надійність програмного забезпечення - властивість програмного забезпечення виконувати наказані йому вимоги.

Програмна надійність виробу виявляється при спільній роботі апаратури і програми. Вона характеризує здатність виробу виконувати задані функції при умові, що програма буде знаходитися в тому або іншому стані.

Надійність програмного забезпечення характеризує якісний стан програми. Її іноді називають правильністю програми, коректністю програми, надійністю програми.

Програмна надійність об'єкта - це те, що цікавить його споживача. Для її забезпечення необхідно, щоб програма була "правильною", "коректною", "надійною", т. е. щоб вона не містила помилок. Може виявитися, що деякі з помилок зовсім не виявляться при роботі об'єкта або, навпаки, при роботі об'єкта виявиться додаткова недосконалість ( "помилки") програми. Однак очевидно, що необхідною умовою надійної роботи об'єкта є "коректність" програм, т. е. відсутність в них помилок.

Програмна надійність стає особливо актуальною, коли програми є самостійним виробом. У цьому випадку вони виготовляються, перевіряються і зазнають приемосдаточним випробуванням так само, як звичайні об'єкти.

Положення про дві сторони надійності програмного забезпечення корисно мати на увазі при дослідженні надійності програмно-керованих об'єктів.

3.1 Порівняльні характеристики програмних і аппаратурних відмов

Програмні відмови виробу і аппаратурние відмови мають багато загального, але багато в чому істотно розрізнюються. Загальне між ними:

а) невиконання об'єктом заданих функцій;

б) часи до відмов і часи усунення відмов носять випадковий характер;

в) методи обробки статистичних даних про відмови однакові, а тому статистичні оцінки показників надійності аппаратурной і програмної, отримані за результатами випробувань і експлуатації, можуть бути однаковими по своїй назві: середнє напрацювання об'єкта на програмну відмову, інтенсивність програмних відмов об'єкта і т. д. Можливі і об'єднані (комплексні) оцінки: середнє напрацювання об'єкта на програмну і аппаратурний відмову і т. п.

Разом з тим відмови програмні істотно відрізняються від відмов аппаратурних:

а) відмова аппаратурний залежить або від часу, або від об'єму виконаної роботи, а відмова програмна - від тієї функції, яку виконує виріб під управлінням програми (точніше, від того, з якою імовірністю програма вийде на таку дільницю, яка містить помилку);

б) виявлення і усунення аппаратурного відмови (заміною елемента, що відмовив справним) не означає, що така ж відмова не повториться при подальшій роботі виробу, а виявлення і усунення відмови програмної (виправлення програми) означає, що така відмова надалі не повториться;

в) програмна відмова, що виявляється при автономній перевірці програми, може перейти в розряд недіючих, якщо стан апаратури робить її нечутливої до даного вигляду програмної відмови. Наприклад, якщо в програмі помилково не передбачений програмний захист від аппаратурного збою, то це програмна відмова, але якщо при цьому в апаратурі не виникає збою, то відмова програмна стає недіючою;

г) прогнозувати виникнення аппаратурних відмов порівняно легко, а прогнозувати виникнення окремих програмних відмов важко, а часто і неможливо. Для окремих програмних відмов важко передбачувати час, коли вони стають діючими, а коли-недіючими;

д) аппаратурние відмови доцільно поділяти на раптові і поступові, т. е. відмови, різні за своєю фізичною природою, законам розподілу часу повністю, методам боротьби за зниження їх імовірності. Програмні відмови немає значення ділити на раптові і поступові. Вони виникають раптово, як тільки програма переходить на таку дільницю, яка містить "помилку". У той же час вони за природою своїй не співпадають з раптовими аппаратурними відмовами. Імовірність їх виникнення не пов'язана з тривалістю роботи виробу, а пов'язана з умовною імовірністю того, що програма містить помилку в даній частині програми, і імовірністю того, що виріб буде працювати під управлінням цієї частини програми.

3.2 Перевірка і випробування програм

Випробування програм на надійність і випробування виробів на надійність їх програмного забезпечення - обов'язкові етапи при перевірці надійності систем.

Випробування з метою перевірки надійності програм здійснюються за допомогою спеціальних програм (тестування) і спеціальних (імітаційних) стендів. Перевіряється при цьому міра отработанности програми і її відповідність заданим вимогам.

Випробування з метою перевірки надійності виробів, працюючих під управлінням програм, здійснюються при спільній роботі програми і виробу. Перевіряються при цьому і міра отработанности програми відповідно до заданих вимог, і коректність цих вимог, і узгодженість взаємодій програми і апаратури.

Міра отработанности програми може перевірятися різними методами. Чим вище вимога до достовірності перевірки, тим більше складений метод перевірки.

Розглянемо один з найбільш простих методів. У процесі перевірки "коректності" програми (за допомогою спостережень за роботою або виробу, або імітуючого пристрою, або на спеціальному стенді за допомогою тестів) фіксуються часи виявлення помилок в програмі. Результати перевірки обробляються при наступних припущеннях: 1) помилки програми незалежні. Кожний раз після виявлення вони усуваються і надалі не виявляються. 2) інтенсивність помилок меншає по мірі їх виявлення і усунення (ступінчасто, як показана на малюнку 3.1).

Виявлення і усунення помилок проводиться доти, поки значення буде менше заданого значення. Задане значення призначається з урахуванням вимог до надійності виробу. Ориетировочно можна вийти з того, що інтенсивність програмних помилок, що приводять до відмови, на етапі відлагоджувальний випробувань повинна бути не більше інтенсивності аппаратурних відмов.

Положення про те, що при створенні програмного забезпечення великих систем можливо виникнення помилок і що виявлення програмних помилок - надзвичайно важка задача, не тільки не повинне обеззброювати розробників систем, а навпаки, повинно орієнтувати їх на максимальне зосередження сил для ліквідації програмних відмов.

Вплив програмних помилок на надійність виробу повинен безперервно меншати з кожним новим етапом освоєння програм (розробка - відладка - досвідчена експлуатація - нормальна експлуатація) так, щоб на етапі нормальної експлуатації об'єкта програмна надійність його була на рівні заданих вимог.

3.3 Основні проблеми дослідження надійності програмного забезпечення

В складній програмно - керованій технічній системі будь-якого типу можна виділити дві основні, відносно незалежні частини.

1. Сукупність автономно, паралельно працюючих технічних схем і пристроїв - апаратна частина.

2. Сукупність програм, орієнтованих на рішення даного комплексу задач, що представляють математичне забезпечення технічної системи і створюючих її програмну частину (операційна система і робочі програми користувачів).

При загальному аналізі характеристик технічної системи (її надійність) слідує учитавать, що якщо апаратна частина жорстко задана, незмінна і її надійність може бути забезпечена на необхідному рівні, то програмна частина в кожному окремому випадку може мати ряд модифікацій, є досить гнучкою, змінною частиною технічної системи і в забезпеченні сукупної надійності системи визначає найбільшу кількість помилок. Автори [19] вважають, що в цей час біля половини відмов складних обчислювальних систем зумовлено помилками програм, а із зростанням надійності елементної бази (ИС, БІС) число откзов, пов'язаних з математичним забезпеченням, зростає до 90% від загального числа відмов.

До основних проблем дослідження надійності програмного обепеспечения (ПО) відноситься:

1. Розробка методів оцінки і прогнозування надійності ПО на основі сукупності кількісних показників і характеристик, ідентичних показникам аппаратурной надійності.

2. Визначення чинників, що впливають на досягнення заданого рівня надійності ПО.

3. Розробка методів, що забезпечують досягнення заданого рівня надійності ПО.

4. Вдосконалення методів підвищення надійності ПО в процесі проектування і експлуатації.

Ефективний спосіб підвищення надійності ПО - використання методів структурного проектування програм, оскільки в залежності від структури ПО наслідки окремих помилок можуть бути легко виявлені, локалізовані і виправлені на деякій невеликій дільниці програми або розповсюдитися на інші рівні і модулі ПО.

3.4 Критерії оцінки надійності програмних виробів

Вся безліч різних показників надійності програмних систем можна розбити на дві великі групи:

1. Кількісні показники надійності ПО.

2. Якісні показники надійності ПО.

Не розглядаючи якісні характеристики надійності, які досить детально досліджені в [20, 21], зупинимося більш детально на можливості використання кількісних показників для оцінки і прогнозування надійності ПО.

Найбільш зручно як такі показники використати статистичні (ймовірностний) критерії добре розробленої теорії надійності радіоелектронної апаратури. Потрібно враховувати, що оцінка надійності ПО на основі статистичної теорії надійності апаратури можлива в межах деяких обмежень, що враховують специфіку ПО як певного вигляду продукту людського труда.

Можна виділити наступні характеристики і кількісні показники надійності ПО:

1. Безвідмовність. Говорячи про безвідмовність ПО, що характеризує здатність ПО виконувати задані функції в заданих умовах експлуатації технічної системи, будемо вважати, що відмова програми - це результат вияву прихованої помилки. Потрібно мати на увазі, що вхідні дані і дані що створюються програмою, не є елементами ПО, оскільки їх надійність пов'язана з роботою зовнішніх пристроїв і апаратної частини системи. Тільки константи, що вводяться програмістом, вважаються частиною ПО.

Для тих, що невідновлюються в ході експлуатації програм узагальненою характеристикою надійності (безвідмовність) є імовірність безвідмовної роботи Р(t), що характеризує імовірність того, що за час t відмови не станеться:

Р(t) = Р(Т³)(t) = 1 - q(t); (3.2)

де Т - час роботи ПО повністю або напрацювання ПО повністю (Т - випадкова величина); q(t) - імовірність відмови ПО.

З (3.2) можна визначити функцію інтенсивності відмов:;

(3.3)

Середній час напрацювання до настання відмови (середній час безвідмовної роботи) визначається як математичне очікування тимчасового інтервалу між двома послідовними порушеннями працездатності ПО:

(3.4)

Для експонентного закону розподілу відмов:;

(3.5)

Оскільки програми мають явно виражені виробничі цикли роботи, то напрацювання програми може бути виражене або через календарний час, або через машинний час, або через кількість відпрацьованих операторів, вирішених задач і т. п.

Один з способів оцінки - спостереження за поведінкою програми у визначений тимчасової період. Тоді величину середнього часу між відмовами (збоями) ПО можна визначити так:

(3.6)

де Н - загальна кількість часів успішного прогону програми, визначувана по формулі:;

(3.7)

де - час безперервного прогону в часах безпомилкової роботи ПО;

n - загальна кількість прогонів ПО; r - кількість прогонів ПО без помилок; l = n-r - кількість прогонів з помилками; - час прогону в годинах до вияву помилки ПО.

Вважаючи кількість помилок постійним, можна обчислити інтенсивність відмов ПО, приведену до одного часу роботи, і середній час між сусідніми відмовами ПО.

(3.8)

(3.9)

Класифікуючи відмови ПО по видах відмов - апаратні, програмні, оператора і т. д., можна визначити приватні (зважені) інтенсивності відмов по відповідних видах помилок - ап, пр, оп і т. д., а загальна надійність визначається як сума таких інтенсивностей. Такий підхід може значно полегшити збір статистичних даних по відповідних видах відмов на основі незалежного аналізу програмних виробів різних типів.

У випадку, якщо в ході експлуатації можливе коректування ПО або відновлення програми після відмови, викликаної дією перешкод (збоїв) від внепрограммних джерел, а час відновлення досить малий в порівнянні з часом між відмовами або збоями, узагальнюючою характеристикою безвідмовності ПО є інтенсивність потоку відмов у часі. ;

(3.10);

(3.11)

де Н(t) - середнє число відмов за час t; - середній час напрацювання між двома відмовами.

Для програм, час коректування яких порівнянний з часом між відмовами, узагальнюючою характеристикою безвідмовності є функція коефіцієнта готовності в залежності від часу. Показник готовності характеризує імовірність застати систему в заданий момент часу в прецездатний стані.

2. Стійкість. Стійкість ПО визначає здатність системи виконувати задані функції в умовах дії перешкод (помилок, збоїв, відмов), виникаючих у внепрограммних джерелах (технічне забезпечення, початкові дані). При оцінці стійкості ПО повинні бути задані параметри навколишнього середовища, по відношенню до якої оцінюється стійкість програм.

Показники стійкості - це показники безвідмовності, але з використанням умовних імовірностей. Умовою, при якій обчислюються імовірності, є відмова (збій) в програмі або апаратурі.

Для програм, що невідновлюються (що некоректуються) узагальненим показником стійкості служить умовна імовірність безвідмовної роботи:

(3.12)

де Р(А) - імовірність помилки (збою) програми або відмови апаратури.

Безвідмовність і стійкість - динамічні характеристики, тобто вони характеризують надійність ПО в процесі роботи.

3. Корректіруємость. Цей показник надійності ПО аналогічний показнику ремонтопригодности радіоелектронної апаратури, характеризує приспособленность ПО до пошуку і усунення помилок і внесення в нього змін в ході експлуатації. Він використовується для характеристики що відновлюються в ході експлуатації програм. Показники корректируемости: час коректування, імовірність коректування програми за заданий час, коефіцієнт готовності, параметр потоку коректувань.

4. Захищеність і довговічність. Додатковими характеристиками надійності ПО є: показник захищеності від сторонніх втручань в роботу ПО і показник довговічності, що характеризує властивості програм уникати морального старіння при тривалому використанні. Захищеність характеризується імовірністю внесення спотворень при сторонньому втручанні, а довговічність - часом відмови ПО внаслідок морального старіння.

У залежності від умов застосування ПО можна виділити три режими (типу) його роботи:

1. Програма не коректується, і будь-яка відмова є повною, т. е. після відмови ПО не відновлюється. Основні показники надійності для цього режиму роботи програм - безвідмовність, стійкість і захищеність.

2. Програма не коректується, однак після відмови ПО система продовжує функціонувати нормально. Основні показники надійності - безвідмовність, стійкість, захищеність і довговічність.

3. Після кожної відмови ПО коректується, налагоджується і тільки після цього знов здається в експлуатацію. Основні показники надійності - безвідмовність, стійкість, корректируемость, захищеність, а також втрати часу.

3.5 Критерії надійності складних комплексів програм

Для оцінки надійності програм, як і при дослідженні характеристик апаратури, як правило, доводиться обмежуватися інтегральними показниками напрацювання на відмову і середнім часом відновлення. Визначення інших показників зв'язане з великими труднощами, які зумовлені тим, що для визначення показників надійності комплексів програм необхідні тривалі експерименти або складні розрахунки при певних початкових даних.

Оцінка достовірності результатів і надійність функціонування комплексу програм являє собою складну задачу через "прокляття розмірності". Природним стає статистичний підхід до аналізу надійності функціонування і статистична оцінка достовірності результатів. Якість відладки визначається інтенсивністю (частостью) відмов і значеннями помилок у вихідних результатах, отриманою за рахунок невиявлених помилок в програмах і спотворень початкових даних. Інтенсивність (частость) відмов в комплексі програм інакше називається як частость вияву помилок в комплексі програм.

Точне визначення повної кількості помилок в програмі прямими методами вимірювання неможливо. Є тільки непрямі шляхи статистичної оцінки їх повної кількості. Такі оцінки базуються на побудові математичних моделей в припущенні жорсткої кореляції між загальною кількістю і виявами помилок в комплексі програм після його відладки в течії часу t, т. е. між наступними параметрами:

сумарною кількістю помилок в комплексі програм,

кількістю помилок, що виявляються в одиницю часу dn/dt в прцессе тестування і відладки при постійних зусиллях на їх проведення;

інтенсивністю відмов l або числом спотворень результатів на виході комплексу програм внаслідок невиявлених помилок при нормальному функціонуванні системи в одиницю часу.

3.6 Математичні моделі надійності комплексів програм

Математичні моделі дозволяють оцінювати характеристики помилок в програмах і прогнозувати їх надійність при проектуванні і експлуатації. Моделі мають ймовірностний характер, і достовірність прогнозів залежить від точності початкових даних і глибини прогнозування за часом. Ці математичні моделі призначені для оцінки:

- показників надійності комплексів програм в процесі відладки;

- кількості помилок, що залишилися невиявленими;

- часу, необхідного для виявлення наступної помилки в функціонуючій програмі;

- часу, необхідного для виявлення всіх помилок із заданою імовірністю.

Використання моделей дозволяє ефективно і цілеспрямовано провести відладку і випробування комплексів програм, допомагає ухвалити раціональне рішення про час припинення відлагоджувальний робіт.

У цей час запропонований ряд математичних моделей, основними з яких є:

- експонентна модель зміни помилок в залежності від часу відладки;

- модель, що враховує дискретно - частоту появи помилок, що знижується як лінійну функцію часу тестування і випробувань;

- модель, що базується на розподілі Вейбула;

- модель, заснована на дискретному гипергеометрическом розподілі.

При обгрунтуванні математичних моделей висуваються деякі гіпотези про характер вияву помилок в комплексі програм. Найбільш обгрунтованими представляються припущення, на яких базується перша експонентна модель зміни помилок в процесі відладки і які полягають в наступному:

1. Будь-які помилки в програмі є незалежними і виявляються у випадкові моменти часу.

2. Час роботи між помилками визначається середнім часом виконання команди на даній ЕОМ і середнім числом команд, що виконується між помилками. Це означає, що інтенсивність вияву помилок при реальному функціонуванні програми залежить від середньої швидкодії ЕОМ.

3. Вибір відлагоджувальний тестів повинен бути представницьким і випадковим, з тим щоб виключити концентрацію невиявлених помилок для деяких реальних умов функціонування програми.

4. Помилка, що є причиною спотворення результатів, фіксується і виправляється після завершення тестування або взагалі не виявляється.

З цих властивостей слідує, що при нормальних умовах експлуатації кількість помилок, що виявляються в деякому інтервалі часу, розподілено згідно із законом Пуассона. У результаті тривалість безперервної роботи між спотвореннями розподілена експонентно.

Передбачимо, що на початку відладки комплексу програм при t = 0 в ньому містилося помилок. Після відладки в течії часу t залишилося помилок і усунено n помилок (+ n = ). При цьому час t відповідає тривалості виконання програм на обчислювальній системі (ВР) для виявлення помилок і не враховує простої машини, необхідні для аналізу результатів і проведення коректувань.

Інтенсивність виявлення помилок в програмі dn/dt і абсолютна кількість усунених помилок зв'язуються рівнянням

(3.13)

де k - коефіцієнт.

Якщо передбачити, що на початку відладки при t = 0 відсутні виявлені помилки, то рішення уранения (3.13) має вигляд

(3.14)

Кількість помилок, що залишилися в комплексі програм

пропорційна інтенсивності виявлення dn/dt з точністю до коефіцієнта k.

Час безвідмовної роботи програм повністю Т або напрацювання на відмову, яка розглядається як спотворення програм, що виявляється, даних або обчислювального процесу, що порушує працездатність, дорівнює величині, зворотній інтенсивності виявлення відмов (помилок):

(3.15)

Якщо врахувати, що до початку тестування в комплексі програм містилося помилок і цьому відповідала напрацювання на відмову, то функцію напрацювання на відмову від тривалості перевірок можна представити в наступному вигляді:

(3.16)

Якщо відомі моменти виявлення помилок і кожний раз в ці моменти виявляється і достовірно усувається одна помилка, то, використовуючи метод максимальної правдоподібності, можна отримати рівняння для визначення значення початкового числа помилок:

(3.17)

а також вираження для розрахунку коефіцієнта пропорційності;

(3.18)

У результаті можна розрахувати число помилок, що залишилися в програмі і середнє напрацювання на відмову Тср = 1/l, т. е. дістати оцінку часу до виявлення наступної помилки.

У процесі відладки і випробувань програм для підвищення напрацювання на відмову від до необхідно виявити і усунути Dn помилок. Величина Dn визначається співвідношенням:;

(3.19)

Вираження для визначення витрат часу Dt на проведення відладки, які дозволяють усунути Dn помилок і відповідно підвищити напрацювання на відмову від значення до, має вигляд:

(3.20)

Друга модель побудована на основі гіпотези про те, що частота вияву помилок (інтенсивність відмов) лінійно залежить від часу випробування між моментами виявлення послідовних i - й і (i - 1) - й помилок.,

(3.21)

де - початкова кількість помилок; K - коефіцієнт пропорційності, що забезпечує рівність одиниці площі під кривої імовірності виявлення помилок.

Для оцінки напрацювання на відмову виходить вираження, відповідне розподілу Релея:

(3.22)

де.

Звідси густина розподілу часу напрацювання на відмову.

(3.23)

Використавши функцію максимальної правдоподібності, дістанемо оцінку для загальної кількості помилок і коефіцієнта

(3.25)

Особливістю третьої моделі є облік ступінчастого характеру зміни надійності при усуненні чергової помилки. Як основна функція розглядається розподіл часу напрацювання на відмову Р(t). Якщо помилки не усуваються, то інтенсивність відмов є постійною, що приводить до експонентної моделі для розподілу:

Звідси густина розподілу напрацювання на відмову Т визначається вираженням:

де t > 0, l > 0 і 1/l - середній час напрацювання на відмову, т. е. Тср=1/l. Тут Тср - середній час напрацювання на відмову.

Для апроксимації зміни інтенсивності від часу при виявленні і усуненні помилок використовується функція наступного вигляду:;

Якщо 0 < b < 1, то інтенсивність відмов знижується по мірі відладки або в процесі експлуатації. Побачивши такому функцію l(t) густина функції розподілу напрацювання на відмову описується двухпараметрическим розподілом Вейбулла:.

Розподіл Вейбулла досить добре відображає реальну залежність при розрахунку функції напрацювання на відмову.

3.7 Перевірка математичних моделей

Обгрунтування приведених математичних моделей приведено в ряді робіт, в яких найбільша увага приділялася перевірці першої і другої моделей. Контролювалися і оброблялися експериментальні дані інтенсивності виявлення помилок dn/dt на фіксованому інтервалі часу, кількості виявлених помилок n або напрацювання на відмову Т в залежності від часу функціонування програм на обчислювальній системі. Характеристики, отримані розрахунками з використанням математичних моделей, зіставлялися з отриманими експериментальними значеннями і застосовувалися для прогнозування показників з подальшим аналізом відхилень від експериментальних даних.

Приклад аналізу першої моделі приведений на мал. 3.3. Визначався і прогнозувався інтервал часу між послідовними відмовами при безперервному

Для оцінки достовірності моделей аналізувалося кількість помилок n, виявлена при функціонуванні комплексів програм в течії часу t [див. (3.14)]. Значення і K визначалися методом максимальної правдоподібності для кожного з 16 досліджених варіантів створення великих програм. Приклад зміни кількості виявлених помилок в залежності від часу функціонування одного комплексу програм представлений на мал. 3.4. З графіка слідує, що перша модель [див. (3.14)] добре апроксимувати кількість помилок у всьому дослідженому інтервалі часу. При значеннях n > 288 відхилення реальної кількості виявлених помилок від розрахункового становить 21%.

ЛІТЕРАТУРА

1. Надійність автоматизованих систем управління. / Під редакцією Я. А. Хетагурова.- М.: Вища школа, 1979 - 287с.

2. Половко А. М. Основи теорії надійності. - М.: Наука, 1964 - 446с.

3. Голинкевич Т. А. Прікладная теорія надійності. - М.: Вища школа, 1985 - 168с.

4. Маликов И. М. Надежность суднової електронної апаратури і систем автоматичного управління. - Л.: Суднобудування, 1967 - 315с.

5. Шишонок Н. А. і інш. Основи теорії надійності і експлуатації радіоелектронної техніки. - М.: Радянське радіо, 1964 - 551с.

6. Шор Я. Б. Статістічеськиє методи аналізу і контролю якості і надійності. - М.: Радянське радіо, 1962 - 552с.

7. Росин М. Ф., Булигин В. С. Статістічеська динаміка і теорія ефективності систем управління. - М.: Машинобудування, 1981 - 312с.

8. Ймовірностний методи в обчислювальній техніці. - М.: Вища школа, 1986 - 312с.

9. Яншин А. А. Теоретічеськиє основи конструювання, технології і надійності ЕВА. - М.: Радіо і зв'язок, 1983 - 312с.

10. Рудзит Я. А., Плуталов В. Н. Основи метрології, точність і надійність в приладобудуванні. - М.: Машинобудування, 1991 - 303с.

11. Саяпин В. В. Конспект лекцій по курсу "Основи теорії надійності". - М.: МВ і ССО СРСР, МАИ, 1971 - 142с.

12. Дружинин Г. В. Надежность автоматизованих виробничих систем. - М.: Енергоатомиздат, 1986 - 479с.

13. Липаев В. В. Надежность програмного забезпечення АСУ. - М.: Енергоиздат, 1981 - 240с.

14. Шураков В. В. Надежность програмного забезпечення систем обробки даних. - М.: Фінанси і статистика, 1987 - 271с.

15. Садчиков П. І., Пріходько Ю. Г. Методи оцінки надійності і забезпечення стійкості функціонування програм. - М.: Знання, 1983 - 102с.

16. Збірник задач по теорії надійності./ Під редакцією А. М. Половко і І. М. Малікова. - М.: Радянське радіо, 1972 - 407с.

17. Теорія надійності радіоелектронних схем в прикладах і задачах. - М.: Енергія, 1976 - 448с.

18. Снегирев А. А. Сборник задач по надійності САУ. - М.: МВ і ССО СРСР, МИФИ, 1978 - 87с.

19. Тейер Т., Ліпов М., Нельсон Е. Надежность програмного забезпечення. - М.: Мир, 1981 - 325с.

20. Майерс Г. Надежность програмного забезпечення. - М.: Мир, 1980 - 360с.

21. Гласс Р. Руководство по надійному програмуванню. - М.: Фінанси і статистика, 1982 - 256с.