Реферати

Реферат: Елементи теорії уявлень

Податок на майно, що переходить у порядку спадкування і дарування. УФИМСКИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ СЕРВІСУ Кафедра фінанси і банківська справа. Курсова робота з дисципліни: “Податки й оподатковування”.

Вивчення лірики в початковій школі. МІНІСТЕРСТВО ЗАГАЛЬНОГО І ПРОФЕСІЙНОГО УТВОРЕННЯ РФ МОРДОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ імені М. Е. ЕВСЕВЬЕВА факультет ПЕДАГОГІЧНИЙ

Організація вивчення основних алгоритмічних конструкцій у середовищі Лого Світи. Міністерство утворення Російської Федерації Уральський державний педагогічний університет Кафедра інформатики і ВТ Організація вивчення основних алгоритмічних конструкцій у середовищі Лого Світи

Особливості поводження тварин. ПЛАН: стор. 1. Вступ 2 2. Уроджене і придбане в поводженні тварин 2 3. Реалізація видового досвіду в індивідуальному поводженні 2 4. Етологическая концепція інстинктивного

Євреї - богоизбранний народ. Уведення. Власне кажучи, "єврейське питання" нерозривно зв'язаний з долями історичного християнства. Ніде в іншому світі він не стояв так гостро, як у християнських суспільствах. Замкнута, релігійно оформлена,

Елементи теорії уявлень

1. Основи теорії уявлень. Різні представлення хвильової функції (різні представлення станів)

2. Позначення Дірака

3. Перетворення операторів від одного уявлення до іншого

Введення

Для створення нової фізичної теорії необхідно сформулювати систему постулатів, знайти математичний апарат, відповідний фізичному значенню проблем, що розглядаються і встановити зв'язок фізичних фактів з математичним формалізмом.

Для формулювання ньютоновской механіки був потрібен розвиток диференціального і інтегрального числення. У 20-м сторіччі сталися серйозні зміни в уявленнях фізиків про математичні основи їх науки. Закономірності микромира корінним образом відрізняються від законів макроскопічного світу, об'єктами якого ми є.

Одне з основних понять квантової механіки - поняття стану квантово-механічної системи. Значення цього поняття в квантовій і класичній фізиці розрізнене. Зміст поняття стану квантово-механічної системи буде з'ясовуватися поступово в процесі вивчення.

Інформацію про стан системи отримують в процесі вимірювання, т. е. при взаємодії квантової системи з макроскопічним приладом. Тому результати вимірювання характеризуються тими ж фізичними величинами, які використовуються в класичній макроскопічній фізиці. Фізичні величини в квантовій механіці часто називають динамічними змінними або що спостерігаються. У квантовій механіці фізичні величини мають інакшу математичну природу, чим в класичній, тому що стану квантово-механічної системи і динамічні змінні "взаємопов'язані вельми дивним образом, який незбагненний з класичної точки зору". [1, c31].

У квантовій механіці вивчаються такі явища, які не можуть бути пояснені за допомогою відомих раніше понять. Адже наша мова - це "зліпок з буденного досвіду людини, він ніколи не зможе вийти за межі цього досвіду. Класична фізика якраз і обмежується розглядом явищ, які мають в мові адекватний словесний еквівалент". [1]

При вивченні явищ, що відбуваються на інакшому структурному рівні організації матерії, на допомогу приходить інша мова - математика. "Математика є знаряддя, спеціально пристосоване для оволодіння всякого роду абстрактними поняттями і в цьому відношенні її могутність безмежно". [1, c13]. "Проте, - вважає П. Дірак, - математика є лише знаряддя, і треба уміти володіти фізичними ідеями безвідносно до їх математичної форми". (Там же). Вибір математичних методів, адекватних фізичній суті задачі, можливо більш повне дослідження аналогій між поняттями і методами математики і фізики сприяє формуванню сучасного фізичного мислення. У той же час освоєння абстрактних математичних об'єктів можливе тільки при їх реалізації фізичними об'єктами.

Для опису квантових властивостей матерії може бути використаний різний математичний апарат. У 1925 р. Вернером Гейзенбергом була створена матрична механіка. У цьому ж році, але трохи пізніше, Е. Шредінгер створив хвильову механіку. Він довів також, що обидва формулювання еквівалентні. Найбільш витончене формулювання квантової механіки створене в 1930 р англійськими фізиком П. Діраком. Саме це формулювання зараз частіше за все використовується. Всі формулювання квантової механіки еквівалентні, можуть бути перетворені один в одну і приводять до однакових фізичних результатів.

1. Основи теорії уявлень. Різні представлення хвильової функції (різні представлення стану)

Стану квантово-механічної системи характеризується хвильовою функцією або амплітудою імовірності. Незалежні змінні, функцією якої вона є, можуть бути різними. Наприклад, декартови координати системи,

значення її імпульсу

і т. п. Букви, вказуючі незалежні змінні, називають індексом уявлення. Індекс хвильової функції (в цьому випадку ) означає набір значень фізичних величин або відповідних квантових чисел, які характеризують даний стан. Тому цей індекс звичайно називають індексом стану.

Якщо хвильова функція залежить від координат, то опис стану за допомогою такої функції називають координатним уявленням. Наприклад, для вільної частинки, рухомої вдовж осі, в координатному уявленні.

Хвильову функцію, що характеризує стан системи, можна розікласти в ряд по власних функціях оператора динамічної змінної. Якщо цей оператор має дискретний спектр власних значень, т. е.,

те

Коефіцієнти розкладання визначаються з вираження

(Тут, як і раніше, - твір диференціалів незалежних змінних). У з 2.4.2 було з'ясоване фізичне значення цих коефіцієнтів: є імовірність того, що в стані, що описується - функцією, фізична величина, що представляється оператором, має значення. Таким чином має значення амплітуди імовірності, якщо незалежною змінною є величина. Сукупність амплітуд є хвильовою функцією в - уявленні. Цю сукупність можна представити у вигляді матриці з одним стовпцем

Якщо спектр власних значень оператора безперервний, то аналогічно маємо

Приклад 1. Записати скалярний твір двох функцій і в - уявленні.

Компоненти і в - уявленні знаходимо, розкладаючи ці функції в ряд по власних функціях оператора: ,

(Ι)

(ΙΙ)

(ΙΙΙ) (ΙV).

Підставляємо розкладання (Ι) і (ΙΙ) в скалярний твір функцій:.

Міняючи місцями знаки підсумовування і інтегрування і враховуючи ортонормированность власних функцій оператора отримуємо:.

Щоб отримати таке вираження за правилом множення матриць, потрібно перемножити матрицю-рядок

(V)

на матрицю-стовпець (ΙΙΙ):

Матриця (V) транспонована по відношенню до матриці (Ι)(V) і її елементи комплексно зв'язані з елементами останньою. Така матриця називається зв'язаної з і означається. Таким чином, комплексно зв'язаній функції під знаком інтеграла відповідає зв'язана матриця.

2. Позначення Дірака

Проведена аналогія між власними функціями ермитових операторів і ортами прямокутних координатних осей. Продовжимо її обговорення.

Вектор в - мірному просторі задається сукупністю, взагалі говорячи, комплексних величин, званих компонентами цього вектора

Аналогія між співвідношеннями і очевидна. Вираження визначає вектор через його проекції на осі координат в багатомірному просторі. Вираження є розкладанням - функції по власних функціях деякого оператора. Систему ортонормированних власних функцій, отже, можна розглядати як базис в бесконечномерном просторі, а величини - як компоненти - функції по осях цього базису. У залежності від вибору базису (т. е. від вибору системи власних функцій, отже, від вибору уявлення) виходить та або інакша сукупність компонент.

Перехід від одного уявлення до іншого геометрично означає перехід від системи координат, освічених базисними векторами (власними функціями) одного оператора до системи координат, освічених базисними векторами (власними функціями) іншого оператора. Таким чином, квантовий стан микрообъекта не обов'язковий повинно характеризуватися хвильовою функцією в реальному просторі. Квантовий стан не зводиться до однієї якоїсь сукупності амплітуд імовірності

і т. п. Кожна з цих сукупностей відображає одну з сторін поняття квантового стану і є однією з можливих його реалізацій. Аналогічно, вектор в - мірному евклидовом просторі може бути представлений сукупністю його проекцій в різних системах координат:,

і т. п. Тут - базисні вектори (орти), наприклад, в сферичній системі координат, - в декартовой.

Дана аналогія привела П. Дірака до думки характеризувати стан системи вектором стану в бесконечномерном гильбертовом просторі. Вектор стану він запропонував означати символом. У середині дужки, по Діраку, повинен вміщуватися індекс стану, т. е. величина або набір величин, які визначають стан системи. Наприклад, якщо система знаходиться в стані з енергією, то записують або. Цей вектор стану називають кет-вектором. Він характеризує стан системи незалежно від вибору уявлення. Кет-вектору зіставляється бра-вектор, що означається дзеркально відображеною дужкою. Бра-вектор пов'язаний з кет-вектором співвідношенням =+. Наприклад, якщо сукупність компонент кет-вектора представлена у вигляді матриці

=, то =+=.

Всередині дужки вміщується індекс уявлення. Наприклад, ¦ означає, що використовується координатне уявлення. Скалярний твір кет і бра-векторів означається повним скобочним вираженням і являє собою число. Наприклад, хвильова функція в - представленні за допомогою дужок записується так:. Хвильова функція вільної частинки, що знаходиться в стані певним значенням імпульсу в координатному уявленні (час фіксований):,

Назва «бра» і «кет» відповідають двом частинам англійського слова «bracket» (дужка).

Хвильова функція (амплітуда імовірності), як відомо, характеризує імовірність результатів вимірювань, що проводяться над системою. Скобочное вираження складене так, що праворуч вказується початковий стан, а зліва - те, в яке переходить система при вимірюванні, т. е. кінцеве. Таким чином, скобочная запис читається праворуч наліво. Наприклад, є амплітуда імовірності того, що система буде мати координату, якщо вона знаходиться в стані що характеризується імпульсом.

Рівняння власних значень в позначеннях П. Дірака можна записати у вигляді:

Тут власний вектор станів означається тією ж буквою, що і відповідне власне значення. Запишемо, користуючись цими позначеннями, вираження. Нехай вектор стану системи, а - базисна система векторів. Тоді

> =, де

Вектор стану системи - поняття більш абстрактне, ніж хвильова функція. У залежності від вибору незалежних змінних (уявлення) вектору стану можуть відповідати різні хвильові функції: в координатному уявленні -, в імпульсному -, в енергетичному - і т. д. Т. е. хвильова функція є проекція вектора стану на відповідний базисний вектор.

Отримаємо в позначеннях Дірака умову повноти ортонормированного базису. Воно часто буває корисним при використанні цього формалізму.

Нехай - одиничний оператор, який будь-якому вектору стану ставить у відповідність той же вектор:

Представимо у вигляді розкладання по ортонормированному базису (т. е. за системою власних векторів оператора ):

Підставляємо це розкладання в:

Внаслідок довільності вектора отримуємо

Це співвідношення і є умовою повноти в позначеннях Дірака.

Приклад. Записати в позначеннях Дірака середнє значення фізичної величини представленої оператором, якщо стан системи характеризується вектором стану. (Спектр власних значень оператора вважати дискретним).

Середнє значення дискретної випадкової величини дорівнює сумі творів її можливих значень на їх імовірності:

Тут - власні значення оператора, - його власні вектори і - хвильова функція системи в - уявленні. Перетворюємо вираження для середнього значення, користуючись властивістю скалярного твору

В останньому перетворенні використана умова повноти

Таким чином, в позначеннях Дірака

квантовий уявлення хвильовою стан

3. Перетворення операторів від одного уявлення до іншого

Нехай оператор заданий в координатному уявленні і переводить функцію в функцію:

Розкладемо функції і в ряд по власних функціях оператора. Спектр власних значень цього оператора для визначеності будемо вважати дискретним:

Сукупність амплітуд є хвильова функція в - уявленні, сукупність амплітуд - хвильова функція в - уявленні. Підставимо розкладання (3.3.2) і (3.3.3) в (3.3.1):

Помножимо ліву і праву частини цієї рівності на і проинтегрируем по всій області зміни незалежних змінних. Знаки підсумовування і інтегрування міняємо місцями. Оскільки власні функції ортогональни і нормовані, т. е.,

маємо

Вводячи позначення

отримуємо

Якщо спектр оператора безперервний, маємо аналогічно

Таким чином, за допомогою набору величин можна хвильову функцію в - уявленні, що є сукупністю амплітуд, перетворити в хвильову функцію в тому ж уявленні. Тому сукупність величин є оператором в - уявленні. Його можна представити у вигляді матриці:

Величини називають матричними елементами. У позначеннях Дірака

Отже, оператори квантової механіки можуть бути представлені в матричній формі. Оскільки в квантовій механіці застосовуються тільки ермитови оператори, що задовольняють умові, т про.

Такі матриці називають самосопряженними або ермитовими.

Таким чином, кожній фізичній величині відповідає не один, а безліч операторів. Вигляд оператора даної фізичної величини залежить від вибору незалежних змінних. Знаючи оператор фізичної величини в одному уявленні, можна знайти його в інших уявленнях. Наприклад, якщо відомий вигляд оператора в - уявленні, то для отримання його в матричній формі в - уявленні треба скористатися власними функціями оператора в - уявленні відповідно до формули (3.3.4). Властивості фізичної величини (ермитовость її оператора, спектр власних значень, середнє значення і т. д.) не залежать від вибору уявлення. (Аналогія з принципом відносності Ейнштейна: закони природи інваріантні (незмінні) при переході від однієї инерциальной системи звіту до іншої).

Приклад. Знайти матричні елементи оператора в його власному уявленні.

У цьому випадку в (3.3.4) - власна функція оператора:

За допомогою цього рівняння перетворюємо вираження для матричного елемента (3.3.4):

Оскільки власні функції ортогональни і нормовані, отримуємо:. Таким чином, в своєму власному уявленні будь-який оператор в матричній формі є діагональною матрицею, діагональні елементи якої рівні власним значенням цього оператора:

Отже, щоб знайти власні значення оператора, заданого в формі матриці, треба привести цю матрицю до діагонального вигляду.

Приклад. Записати середнє значення фізичної величини, що представляється оператором, в матричній формі.

Нехай у вираженні

хвильова функція і оператор задані в координатному уявленні. Перейдемо до - уявленню. Скористаємося розкладанням (3.3.2) функції в ряд по власних функціях оператора. Підставляючи у вираження для середнього значення і міняючи місцями знаки підсумовування і інтегрування, отримуємо

Сукупність є матриця з одним стовпцем. Сукупність - зв'язана матриця з одним рядком. Тому (3.3.8) можна записати як твір відповідних матриць:

де - оператор в - уявленні.

Питання для самопроверки

1. Що називають індексом стану? індексом уявлення?

2. Як, знаючи хвильову функцію системи в одному уявленні, знайти її в іншому уявленні?

3. Як, знаючи вигляд оператора в одному уявленні, знайти його в іншому уявленні?

4. Визначте поняття матричного елемента оператора.

5. Що являє собою матричні елементи оператора в його власному уявленні?

6. Що таке вектор стану, кет-вектор, бра-вектор? Який зв'язок між і?

7. Який зв'язок між вектором стану системи і її хвильовою функцією?

8. Записати в позначеннях Дірака хвильову функцію системи в - уявленні і в - уявленні, якщо її вектор стану.

9. Чи Змінюється середнє значення фізичної величини при переході до іншого уявлення?

10. Записати в матричній формі (в - уявленні) вираження для середнього значення величини, відповідної оператору.

Вправи

3.1 Знайти оператори координати і імпульсу в імпульсному уявленні.

Рішення. Для простоти розглядаємо одномірний рух вдовж осі. У координатному уявленні,

(см з2.7).

У імпульсному (т. е. в своєму власному) уявленні. Знайдемо оператор координати.

Спосіб 1. Скористаємося тим, що середнє значення фізичної величини не залежить від уявлення, що використовується:

(I)

У лівій частині рівності всі величини дані в координатному уявленні, в правій - в імпульсному. Зв'язок між хвильовими функціями в координатному і імпульсному уявленнях визначається співвідношенням,

Де

- власна функція оператора в координатному уявленні. Тому

(II)

Підставляємо це вираження в ліву частину рівності (I):

(III)

Множник в подинтегральном вираженні правої частини рівності знайдемо з співвідношення:.

Отримуємо:.

Користуючись цим співвідношенням, перетворюємо праву частину рівності (III):

(IV)

При інтегруванні по отримуємо,

оскільки і. (Стан з нескінченно великим імпульсом неможливий.) Враховуючи цей результат, перепишемо рівність (IV):

(V)

Оскільки

=

праву частину співвідношення (V) можна переписати у вигляді

Використовуючи властивість - функції (2.6.3) знаходимо інтеграл по:

Враховуючи зроблені перетворення, переписуємо рівність (V):

Порівнюючи це вираженні з співвідношенням (I) отримуємо

Спосіб 2. У матричній формі оператор координати в імпульсному уявленні є нескінченною безперервною матрицею з матричними елементами:

Тут - власна функція оператора імпульсу в координатному уявленні

Підставляючи значення функції в формулу для матричного елемента, отримуємо

Співвідношення

показує як оператор в матричній формі переводить одну функцію в імпульсному уявленні в іншу також в імпульсному уявленні (См (3.3.6)). Підставляємо в праву частину цього співвідношення значення матричного елемента і інтегруємо по частинах:

Перший доданок в правій частині дорівнює нулю, оскільки імпульс не може бути нескінченно великим. Другий доданок перетворюємо, використовуючи властивість - функції (2.6.3):

Тому

Отже, координаті в імпульсному уявленні відповідає диференціальний оператор

4. Завдання, для контрольної перевірки знань

I. Проверіть, чи коммутируют приведені нижче оператори?

1. і

2. і

3. і, де

4. і

5. і

II. Знайти оператори, зв'язані з приведеними нижче. Визначити які оператори є ермитовими.

1.

2.

3.

4.

5.

III. Довести:

1. якщо оператори і ермитови і коммутируют, то оператор також ермитов;

2. якщо оператори і ермитови і некоммутирующие, то оператор ермитов;

3. якщо оператори і ермитови і некоммутирующие, то оператор ермитов;

4. якщо оператори і ермитови і некоммутирующие, то оператор не ермитов;

5. якщо оператор лінійний, то оператор ермитов;

IV. 1. Знайти власні функції і власні значення оператора,

якщо,

де - постійна величина

2. Найтисобственние функції і власні значення оператора

(Оператор заданий в сферичних координатах).

3. Найтисобственние функції і власні значення оператора

(Оператор заданий в сферичних координатах).

4. Знайти власні функції і власні значення оператора,

якщо.

5. Знайти власні функції і власні значення оператора

V. 1. Обчислити середнє значення для одномірного гармонічного осциллятора, стан якого описується функцією,

де

2. Обчислити середнє значення кінетичної енергії

лінійного гармонічного осциллятора, якщо стан його описується функцією,

де

3. Хвильова функція стану частинки має вигляд,

де - речовинна функція. Знайти середній імпульс частинки в цьому стані.

4. У деякий момент часу частинка знаходиться в стані,

де і - постійні. Знайти середнє значення її координати.

5. Знайти середнє значення фізичної величини, що представляється оператором,

якщо стан частинки описується функцією.

VI. Визначити можливі значення фізичної величини, що представляється оператором

і їх імовірності для системи, що знаходиться в стані:

1.

2.

3.

4.

5.

(Оператор заданий в сферичних координатах)

Література

1. Дірак П. Прінципи квантової механики.- М: Наука, 1979.

2. Вакарчук І. О. Квантова механіка: Підручник.- Львів: ЛДУ ім.. І. Франка, 1998.

3. Блохинцев Д. И. Основи квантової механіки. М.: Наука, 1983.

4. Давидов А. С. Квантовая механіка. М.: Наука, 1973.

5. Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М. Квантовая механіка. Нерелятивістська теорія. М.: Наука, 1989.

6. Юхновський І. К. Квантова механіка. Київ: Лібідь, 1995.

7. Федорченко А. М. Теоретічна фізика. Київ: Вища школа, 1993, т. 2.

8. Фок В. А. Начала квантової механіки. М.: Наука, 1976.

9. Шифф Л. Квантовая механіка. М.: З-у иностр. лит., 1959.

10. Мессиа А. Квантовая механіка: в 2-х томах, М.: Наука, 1978, т. 1.

11. Іродів І. Е. Задачи по квантовій фізиці. М.: «Вища школа», 1991.

12. Галицкий В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовій механіці. М.: Наука, 1981.

13. Арфкен Г. Математічеськиє методи в фізиці. М.: Атомиздат, 1970.

14. Рихтмайер Р. Прінципи сучасної математичної фізики, М.:1982.

[1] Бор. М. Атомная фізика. - М.: Мир, 1965, з 119