Реферати

Реферат: Математичні лади

Біологічна активність і мікробіологічна рекультивиция ґрунтів, забруднених нафтопродуктами. Забруднення ґрунту углеводородним сировиною і її біологічною активністю.

Протокол Кіото і нова енергетична політика. М О С К В А 2002 Зміст Стр. Уведення......3 Протокол Кіото......4-10 Тенденції світової і російської енергетичний

Формування нової системи міжнародних відносин. У світовій і вітчизняній літературі склався більш-менш стійкий підхід до систематизації міжнародних відносин у залежності від їхнього змісту, складу учасників, рушійних сил і закономірностей.

Що є інформація, що є життя?. Неймовірна інформативність живої матерії ще не цілком усвідомлена вченими. Одна з причин - у тім, що нинішні визначення інформації так само далекі від досконалості, як і визначення Життя.

Дружба. Спілкування - це інформаційна і предметна взаємодія, у процесі якого виявляються і формуються міжособистісні взаємини (МО). При взаємодії людей один з одним виявляються їхні особисті якості, звідси і випливають МО.

з 1. Математичним ладом називається сукупність частотних відносин між звуками в музичній системі. Введення в музичну практику многоголосних інструментів з фіксованою частотою звуків (орган і інш.) примусило композиторів і виконавців зацікавитися кількісною стороною музичних систем. До цього часу в науці був відомий цілий ряд звукових ладів, розроблених китайськими, персидськими, індійськими, арабськими і грецькими вченими, в основі яких лежали самі різноманітні математичні принципи відбору звуків і які намагалися пояснити співвідношення між звуками в творах народної музичної творчості.

Ми вважаємо зайвим зупинятися на розгляді китайських, персидських, арабських і індійських звукових ладів, оскільки ці лади не вплинули безпосереднього чином на європейську музику, а почнуть з вивчення ладу, розробленого древньогрецький вченими і відомого під ім'ям «ладу Піфагора».

Древньогрецький вченим було відомо, що на монохорде[2] можна отримати звуки не тільки шляхом збудження цілої струни, але і її частин: 1/2, 2/3 і 3/4, і що звуки, отримані шляхом збудження вказаних частин струни, утворять з її основним тоном інтервали октави - 1/2 струни, квінти - 2/3 струни і кварти - 3/4 струни (по сучасній термінології).

Ці інтервали, знайдені досвідченим шляхом і що отримали, за переказами, застосування при настройці ліри Орфея, стали основними інтервалами пифагорова ладу. Інші інтервали цього ладу були знайдені послідовниками Піфагора за допомогою обчислень. Важко сказати, які причини примусили вказаних вчених відмовитися від подальших делений струни на частині з метою отримання нових інтервалів, відомо лише, що формування пифагорова ладу здійснювалося не досвідченим, а математичним шляхом. Цей шлях був заснований на наступних міркуваннях: оскільки 2/3 цілих струни дають звук квінтою вище її основного тону, а 3/4 цілих струни - звук квартою вище за той же тон, то 2/3 будь-яких частини струни повинні дати звук квінтою вище за цю частину, а 3/4 будь-яких частини струни - звук квартою вище за цю частину.

Таким чином, якщо основний тон струни є з і якщо взяти 2/3 від 2/3 струни, т. е. 4/9 струни, то звук, відповідний цій частині струни, буде d1. Цей звук знаходиться за межами октави з - с1. Взявши замість його d, ми знайдемо, що останньому звуку відповідає 8/9 струни[3].

Якщо взяти 2/3 від 8/9 струни, т. е. 16/27 струни, то звук, відповідний тій частині струни, буде а.

Якщо взяти 2/3 від 16/27 струни, т. е. 32/81 струни, то звук,, відповідний цій частині струни, буде е1. Цей звук знаходиться за межами октави з - с1. Взявши замість нього е, ми знайдемо, що останньому звуку відповідає 64/81 струни.

Якщо взяти 2/3 від 64/81 струни, т. е. 128/243 струни, то звук, відповідний цій частині струни, буде h. Якщо розташувати всі знайдені нами звуки в порядку їх висоти і підписати під ними відповідні частини струни, то ми отримаємо диатоническую мажорну гамму пифагоровой настройки, в якій частотні відносини між звуками виражені в частках струни:

з d е f g а h c1

1 8/9 64/81 3/4 2/3 16/27 128/243 1/2

Якщо, виходячи з основних інтервалів пифагорова ладу, рухатися від звуку f по чистих квінтах вниз, проводячи при: цьому відповідні обчислення, то ми отримаємо фригийскую гамму[4], ib якої частотні відносини між звуками виражені в частках струни:

з des es f g as b cl

1 243/256 27/32 3/4 2/3 81/128 9/16 1/2

Рухаючись по чистих квінтах вгору від звуку А і по чистих квінтах вниз від звуку des і виробляючи відповідні обчислення, ми прийдемо в першому випадку до звуку his, у другому - до звуку deses. Звук his на інтервал 524288/531441?73/74 вище за звук с1, а звук deses - на той же інтервал нижче за звук з. Інтервал, на який his вище за cl, а deses нижче з отримав назву «пифагоровой комми» (біля 1/9 тону)[5]. Таким чином, лад Піфагора - незамкнений.

Оскільки кожний інтервал пифагорова ладу виходить за допомогою тієї або іншої кількості квинтових ходів (вгору або вниз від початкового звуку з подальшими октавними перенесениями), то кожний інтервал цього ладу має тільки одне кількісне вираження, так:

1) би. секунда, що отримується за допомогою двох квинтових ходів, виражається відношенням 8/9;

2) би. секста, що отримується за допомогою трьох квинтових ходів, виражається відношенням 16/27;

3) би. терція, що отримується за допомогою чотирьох квинтових ходів, виражається відношенням 64/81;

4) діатонічний півтон, що отримується за допомогою п'яти квинтових ходів, виражається відношенням 243/256;

5) хроматичний півтон, що отримується за допомогою семи квинтових ходів, виражається відношенням 2048/2187.

Оскільки 2048/2187 менше 243/256 струни, то хроматичний півтон пифагорова ладу більше диатонического на пифагорову комму. Оскільки всі інтервали пифагорова ладу (за винятком октави) є похідними від ч. квінти, то пифагоров лад є лад однофакторний.

Важко сказати, який вплив надав пифагоров лад на музику древніх греків, але його роль в справі розвитку середньовічної музики цілком ясна.

У середні віки став широко застосовуватися в церковній музиці орган - многоголосний інструмент з фіксованою частотою звуків. Цей інструмент вимагав настройки. Оскільки єдиним ладом, добре відомим в ті часи, був лад Піфагора, то орган стали настроювати в цьому ладі. Настройка органу в пифагоровом ладі не представляє великих труднощів. Вона здійснюється шляхом настройки чистих квінт (т. е, квінт без биття) вгору і вниз від початкового звуку і перенесення цих квінт в межі однієї октави.

Однак вже перші спроби гри на органі, настроєному в пифагоровом ладі, показали, що гармонічна б. терція цього ладу звучить дуже напружено і непридатна тому як терція мажорного тонічного трезвучия (гармонічного). Треба думати, що цю напруженість насамперед помітили учасники хору, які, повидимому, дотримувалися натуральної б. терції. Причину напруженості пифагоровой би. терції знайти не важко. У пифагоровом ладі б. терція виходить за допомогою чотирьох ходів по ч. квінтам вгору і виражається відношенням 64/81. Якщо виразити величину пифагоровой би. терції не частками струни, а числами коливань, то виявиться, що в цій терції верхньому звуку відповідає 81 коливання, а нижньому - 64. (ЦЕ у великій октаві при а=435 герц). Для б. терції с1 відносини між числами коливань буде 324/256 ((81/64)х(4/4)). Звуки б. терції с1 мають тон збігу е3 (5-й частковий тон с1 співпадає з 4-м частковим тоном е1).

Число коливань в секунду 5-го часткового тону =256.5= 1280, число коливань в секунду 4-гочастичноготона=324x4=1296. При одночасному звучанні обох звуків би. терції с1 інтервал буде давати 16 биття в секунду (1296-1280=16). Це биття і створюють напруження в гармонічної пифагоровой би. терції.

Отже, спроба використати пифагоров лад для настройки многоголосного музичного інструмента з фіксованою частотою звуків увійшла в суперечність із зростаючою гармонічною свідомістю. Музична практика вимагала або відмови від гармонічних терцій взагалі або заміни їх іншими гармонічними б. терціями, прийнятними для хору.

з 2. Останнім шляхом пішли Фольяні і Царліно, видатні теоретики XVI віку. Засновуючись на роботах Арістоксена, Птолемея і Дідіма, вони запропонували брати для б. терції не 64/81, а 4/5 (64/80) струни, інакше говорячи, розглядати б. терцію, як основної, а не як похідний інтервал. Лад, отриманий шляхом заміни терції 64/81 терцією 4/5, отримав назву "чистого", оскільки б. терція 4/5 звучить без биття (чисто).

Виразимо тепер в частках струни частотні співвідношення між звуками, створюючими диатоническую мажорну гамму чистого ладу, наприклад:

з d е f g а h c1

Якщо звуку з відповідає ціла струна (1), то звуку е, створюючому б. терцію зі звуком з, буде відповідати 4/5 струни; звуку а, створюючому б. терцію зі звуком f, 3/5 струни (4/5 від 3/4=3/5); звуку h, створюючому б. терцію зі звуком g,- 8/15 струни (4/5 від 2/3=8/15). Звукам f і g, створюючим кварту і квінту зі звуком з, і звуку d створюючому кварту зі звуком g, буде відповідати, як і в ладі Піфагора, 3/4, 2/3 і 8/9 струни.

Отже, звуки диатонической мажорної гамми чистого ладу в частках струни виразяться наступними відносинами:

з d е f g а h з

1 8/9 4/5 3/4 2/3 3/5 8/15 1/2

Взявши як основний інтервал би. терцію і міркуючи аналогічним образом, ми знайдемо, що звуки фригийской гамми виразяться:

з des es f g as b cl

1 15/16 5/6 3/4 2/3 5/8 5/9 1/2

Якщо, рухаючись квинтовими і терцовими ходами, знайти частини струни, відповідні звукам fis, cis, gis і т. д. до his включно, і частини струни, відповідні звукам ges, ces, fes і т. д. до deses включно, то виявиться, що his нижче за с1, а deses вище з. Дійсно, звуку his, що отримується шляхом руху на 3 би. терції вгору від з (це- gis-his), буде відповідати 64/125 струни (1Х4/5Х4/5Х 4/5) (звуку с1 відповідає 64/128, т. е. 1/2 струни). Звуку deses, що отримується шляхом руху на 3 би. терції вниз від с1 (с1), буде відповідати 125/128 струни (1/2X5/4X5/4X5/4) (звуку з відповідає 128/128, т. е. ціла струна).

Різниця між his і с1, deses і з? 1/5 частини тону.

Таким чином, чистий лад, подібно пифагорову, є лад незамкнений.

Якщо дослідити всі інтервали, вхідні до складу приведеної вище диатонической мажорної гамми чистого ладу, то не важко пересвідчитися, що в цьому ладі деякі однойменні інтервали на різних рівнях гамми мають різні интервальние коефициенти.

Так:

1) квінти на 1, 3, 4, 5 і 6-й рівнях виражаються відношенням 2/3 (c-g-2/3; e-h-8/5:4/5=2/3; f-1/2:3/4=2/3; g-d1-4/9:2/3=2/3; а- 2/5:3/5=2/3);

2) квінта на 2-й рівні d-а виражається відношенням 27/40 (3/5:8/9=27/40);

3) м. терції на 3, 6-й і 7-й рівнях виражаються відношенням 5/6 (e-g-2/3:4/5=5/6; а-1/2:3/5=5/6; h-d1- 4/9:8/15=5/6);

4) м. терція на 2-й рівні d-f виражається відношенням 27/32 (3/4:8/9=27/32);

5) би. секунда на 1, 4-й і 6-й рівнях виражається відношенням 8/9 (c-d-8/9; f-g-2/3:3/4=8/9; a-h-8/15:3/5=8/9);.

6) би. секунда на 2-й і 5-й рівнях виражається відношенням 9/10 (d-e-4/5:8/9=9/10; g-a-3/5:2/3=9/10).

Таким чином, в диатонической мажорній гаммі чистого ладу два интервальних коефициента мають:

квінта -2/3 і 27/40 (2/3=27/40X80/81)

кварта-3/4 і 20/27 (20/27=3/4X80/81)

м. терція - 5/5 і 27/32 (5/6=27/32X80/80)

би. свисту -3/5 і 16/27 (16/27=3/5X80/81)

би. секунда- 8/9 і 9/10 (8/9=9/10X80/81)

м. септима -9/16 і 5/9 (5/9=9/916X80/81).

Інтервал 80/81, на який деякі інтервали чистого ладу більше або менше відповідних інтервалів пифагорова ладу, називається "дидимовой коммой". Дидимова комма? 1/10 тони. На цю ж комму, б. терція пифагорова ладу більше чистої (64/81=5/4x80/81). Оскільки діатонічний півтон, наприклад, з - des, виходить за допомогою ходів:

з - f - des

і виражається відношенням 15/16 (3/4x5/4=15/16), а хроматичний півтон, наприклад, з - cis, виходить за допомогою ходів:

з - f - а - cis1 - cis

і виражається відношенням 24/25 (3/4x4/5x4/5x2) і оскільки дріб 24/25 більше 15/16, то звук сis (як відповідний больщему відрізку струни) нижче за звук des. Таким чином, в чистому ладі діатонічний півтон більше хроматичного (див. лад Піфагора). З усього вищевикладеного, можна зробити наступні висновки:

1. Заміна пифагорових терцій чистими зробила можливим застосування в музичному мистецтві гармонічних мажорних і мінорних трезвучий (тонічних) і розширила область частотних інтонацій (квінта 2/3 і 27/40, м. терція 5/і 27/32, би. секунда 8/9 і 9/10 і т. д.).

2. Вказана заміна не створила ладу, цілком відповідного вимогам музичної практики, оскільки чистий лад виявився:

а) незамкненим, т. е. позбавленим енгармонизма;

б) незручним для модуляції навіть в найближчі (від (C-dur) тональності;

в) що вимагає складного пристрою музичних інструментів з фіксованою частотою звуків.

Пояснимо викладене в п. п. би і в.

Щоб зробити модуляцію з C-dur в d-moll, необхідно мати як тоники ладу чисте мінорне трезвучие d - f - а. Цим трезвучием не може бути мінорне трезвучие II рівня C-dur, оскільки воно складається з «нечистої» квінти - d - а (27/40) і пифагоровой м. терції d - f (27/32), Щоб зробити трезвучие d - f - а чистим, необхідне для звуку d взяти відношення 9/10 замість 8/9, т. е. знизити його на дидимову комму 80/81. Таким чином, для здійснення модуляції з C-dur в d-moll (і зворотно) необхідно мати 2 звуки d, відмінних, по частоті на дидимову комму. Один як звук доминантового трезвучия C-dur іншої як звук тонічного трезвучия d-moll. По тих же причинах для модуляції з F-dur в g-moll (і зворотно) треба мати два «комматических звуки» g, для модуляцій з G-dur в a-moll треба мати два комматических звуки а і т. д.

Для здійснення модуляцій у 2-ю міру спорідненості будуть потрібні нові комматические звуки. Таким чином, при широкому користуванні модуляціями буде потрібне велике кількості комматических звуків. Якщо, крім того, брати до уваги, що в чистому ладі не існує енгармонизма (fis не співпадає по висоті з ges), то для користування чистим ладом буде потрібна значна кількість звуків в межах однієї октави до 85 звуків). Ця обставина значно ускладнює пристрій музичних інструментів з фіксованою частотою звуків і робить вельми важкою гру на цих інструментах. З усього вищевикладеного слідує, що чистий лад являє собою вельми складний математичний лад.

Музичне мистецтво, яке вже в першій половині XVII віку почало широко користуватися енгармонизмом, не могло задовольнитися чистим ладом, і він розділив долю пифагорова.

Отже, причиною, що примусила музичне мистецтво відмовитися від чистого ладу, була відсутність в цьому ладі енгармонизма, інакше говорячи, незамкненість цього ладу. Тому подальша еволюція ладів пішла по шляху створення так званих «темпераций»[6], т. е. таких математичних ладів, які завдяки певним частотним співвідношенням між звуками є замкненими. Оскільки музичне мистецтво не могло відразу відмовитися від чистих квінт і чистих терцій, переваги яких перед терціями Піфагора були очевидні, то автори темперації намагалися вирішити задачу, виходячи з чистих великих і малих терцій і чистих квінт.

Рівномірні темперации

з 1. Спроби вирішити проблему ладу, придатного для музичних цілей, за допомогою нерівномірних темперації, закінчилися невдачею, оскільки ці темперації давали можливість користуватися обмеженою кількістю тональності (в окремій тональності з'являлися так звані «виючі» інтервали). Але ці спроби, особливо роботи Веркмейстера і Нейдгардта, намітили правильний шлях дозволу проблеми і привели пізніших дослідників до двенадцатизвуковому равномерно-темперированному ладу. Автори цього ладу виходили з наступних міркувань. Якщо розділити пифагорову комму (1/9 тони) на 12 рівних частин, т. е. розподілити її між дванадцятьма квінтами цього ладу, то кожна квінта поменшає на 1/108 тони (1/9:12=1/108). При цій умові дванадцята квінта вгору від звуку з (his) співпадає з октавою від того ж звуку (с1), а дванадцята квінта вниз від звуку с1 (deses) співпадає з октавою від того ж звуку (з). Збіг his з с1, а deses із з викличе збіг всіх енгармонически рівних звуків, відмінних по висоті на пифагорову комму. Цей збіг станеться шляхом зміщення обох звуків.

Оскільки в пифагоровом ладі все цілі тони виходять за допомогою двох квинтових ходів і тому рівні між собою, і оскільки послідовність 6 цілих тонів (наприклад, від звуку з) приводить до звуку his, який на 1/9 тони вище з, то, зменшуючи ч. квінти на 1/108 тони, ми зменшуємо кожний цілий тон на 1/54, а послідовність 6 тонів на 1/9 тони (пифагорову комму). Таким чином, в ладі, що розглядається нами темперированном октава складається з 6 рівних цілих тонів.

Оскільки в пифагоровом ладі хроматичний півтон більше диатонического, то цілий тон пифагорова ладу ділиться на два нерівних півтони. У ладі, що розглядається нами темперированном хроматичний півтон рівний диатоническому.

Тому в цьому ладі цілий тон ділиться на два рівних півтони. Таким чином, в цьому ладі октава складається з 12 рівних півтонів, а всі інші інтервали з меншої кількості цих півтонів - від 11 (би. септима - ув. сексте) до 1 (м. секунда).

Досліджуємо тепер питання про музичну прийнятність інтервалів 12-звукового равномернотемперированного ладу. Оскільки названий лад виходить шляхом ділення ч. октави на 12 рівних півтонів, то всі октави цього ладу, як і в інших теоретичних ладах, чисті[7]. Темперированная квінта, яка менше чистої на 1/108 тони, і темперированная кварта, яка більше чистої на 1/108 тони, за своїми звуковими якостями майже не відрізняються від чистих.

Темперированная б. терція менше пифагоровой на 1/27 тони і, отже, більше чистої на 1/16 тони; навпаки, темперированная м. секста, що є звертанням би. терції, більше пифагоровой на 1/27 тони і менше чистої на 1/16 тони.

Темперірованная м. терція більше пифагоровой на 1/36 тони і, отже, менше чистої на 1/14 тони; навпаки, темперированная б. секста, що є звертанням м. терції, менше пифагоровой на 1/36 тони і більше чистої на 1/14 тони.

Отже, темперированная б. терція більше чистої на 1/16 тони, а темперированная м. терція менше чистої на 1/14 тони. Ці терції за своїми звуковими якостями помітно відрізняються від чистих, але в музичному відношенні прийнятні. Те ж саме можна сказати і відносно звертання терцій - секст. Що ж до дисонуючих інтервалів, то ці інтервали, що зберігають свої звукові якості в більш широких межах, ніж консонирующие, в темперированном ладі не викликають ніяких протестів з боку музичного слуху. Таким чином, всі інтервали ладу, що вивчається нами равномернотемперированного в музичному відношенні прийнятні. Настройка хроматичної гамми 12-звукового равномернотемперированного ладу представляє деякі труднощі. Оскільки всі інтервали цього ладу можна отримати за допомогою квинтових ходів, то теоретично питання зводиться до знаходження числа биття в секунду, яке дає темперированная квінта на різних рівнях хроматичної гамми ладу, що вивчається, практично - до відліку вказаного биття.

Перша частина питання дозволяється таким чином.

Якщо ми визначимо через х величину, що показує, у скільки разів число коливань верхнього звуку темперированного півтону більше числа коливань його нижнього звуку, прийнятого за 1, то x12 буде величиною, що показує, у скільки разів число коливань верхнього звуку октави більше числа коливань її нижнього звуку, прийнятого за 1. Оскільки число коливань верхнього звуку октави більше числа коливань її нижнього звуку в два рази, то ми можемо скласти наступне рівняння:

1: x12 = 1: 2

х12 = 2 або х= 21/12 = 1,0595.

Знаючи интервальний коефициент темперированного півтону і число півтонів, що полягають в інтервалах темперированного ладу, можна знайти интервальние коефициенти цих інтервалів, а знаючи останні і вважаючи, що звуку а1 відповідає 440 гц, можна знайти числа коливань для всіх звуків темперированной хроматичної гамми від с1 до с2.

Відомо, що при гармонічному відтворенні ч. квінти 3-й частковий тон її нижнього звуку утворить тон збігу з 2-м частковим тоном її верхнього звуку. У темперированной квінті вказані часткові тони не співпадають, і між ними виникає биття. Для квінти с1- g1 число биття в секунду дорівнює 0, 89, оскільки число коливань 3-го часткового тону звуку с1 є 784,89[8], число коливань 2-го часткового тону звуку gl є 784[9]. Число биття в секунду для квінти es - b1 дорівнює 1,07, оскільки число коливань 3-го часткового тону звуку es1 є 933,39 [10], а число коливань 2-го часткового тону звуку b1 є 932,32 [11]. По тих міркуваннях число биття в секунду для квінти fis1 - сis2 дорівнює 1,25, а для квінти а1 - е2 дорівнює 1,48. З всього щойно викладеного видно, що для настройки темперированних квінт необхідно знайти числа биття для всіх 12 квінт. Однак практика настройки музичних інструментів з фіксованою частотою звуків показує, що ця тонкість излишни і що для всіх 12 квінт можна взяти середнє число биття, т. е. для квінт 1-й октави 1,1 [12]. Ця заміна значно спрощує процес настройки темперированних квінт, хоч і спричиняє деяке (абсолютно непомітне для слуху) розходження між обчисленими інтервалами 12-звукового равномерно-темперированного ладу і що фактично настроюються. Встановивши число биття для квінт в 1-й октаві музичних інструментів з фіксованою частотою звуків (наприклад, фортепиано), викладемо метод настройки. Процес настройки починається з настройки а1 по камертону (440 гц). Після настройки а1 настроюють всі інші звуки 1-й октави. Расмотрим один з способів настройки:

Пояснимо схему: квінти a1 - е2 і d1 - a1 настроюються спочатку як чисті, оскільки 1,1 биття в секунду можна отримати як при деякому зменшенні квінти, так і при деякому її збільшенні. Потім е2 знижується (-), поки квінта а1 - е2 не дасть 1,1 биття в секунду, а d1 підвищується (+), поки квінта dl - а1 не дасть 1,1 биття в секунду. Потім від е2 робиться хід на чисту октаву в el, а від dl - аналогічний хід в d2. Ці ходи на октаву мають на меті примусити нас настроювати квінти тільки в межах 1-й октави, для яких число биття в секунду = 1,1 [13].

Подальша настройка квінт відбувається аналогічним образом, доти, поки з одного боку ми дійдемо до звуку dis2 (es2) з іншою - до звуку esl (dis1). Якщо ці звуки дадуть ч. октаву, то настройка зроблена правильно, якщо - нечисту октаву, то настройку необхідно перевірити. Перевірка настройки виготовляється не тільки у відношенні квінт і октав, але і у відношенні мажорних і мінорних трезвучий і їх звертань (звісно, відносно їх звукових якостей, а не відліку биття, що відносно терцій скрутно). Настройка інших звуків фортепиано не представляє особливих труднощів, оскільки вони настроюються по октавах вгору і вниз від отриманих нами 12 звуків 1-й октави. Професійні настроювачі звичайно не відлічують биття, а настроюють темперированние квінти на слух. Цей метод настройки більш швидкий, але менш точний.

Порівняно з ладами пифагоровим і чистим, а також з нерівномірними темперациями, згаданими нами раніше, 12-звуковий равномерно-темперированний лад в музичному відношенні є ладом вельми довершеним:

1) він являє собою лад замкнений і енгармонический;

2) він складається з інтервалів, які як при мелодическом, так і при гармонічному їх відтворенні цілком прийнятні для музичного слуху;

3) він має в октаві тільки дванадцять звуків, що можуть, однак, виконати декілька ладових функцій;

4) він вимагає порівняно простого пристрою многоголосних інструментів.

Всі перераховані властивості 12-звукового равномерно-темперированного ладу роблять можливості цього ладу в музичному відношенні майже необмеженими. І. С. Бах в «Das Wohltemperierte Klavier» уперше показав на практиці всі музичні можливості цього ладу.

з 2. Двенадцатизвуковой равномерно-темперированний лад лежить в основі європейської музики з часу І. С. Баха. Однак цілий ряд музичних вчених і музикантів не вважає його цілком задовільним. Неодноразово робилися кроки до розширення цього ладу, які переслідували головним чином дві мети:

1) поліпшення звукових якостей гармонічних терцій і секст, т. е. наближення їх до натуральним (4:5, 5:6, 3:5 і 5: 8),

2) введення в музичне мистецтво інтервалів натурального звукоряд, множників, що виражаються відносинами з участю 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31 і т. д.

Першу мету потрібно розглядати як спробу повернути музичне мистецтво до чистого ладу, другу - як спробу збагатити музичне мистецтво новими інтервалами натурального звукоряд (7/4, 11/8, 13/8, 19/16, 24/23, 32/31 і т. д.) і їх похідними.

Важке що-небудь заперечити поліпшення звукових якостей терцій і секст, що ж до введення в музику нових інтервалів натурального звукоряд, то на цьому питанні потрібно зупинитися.

На стор. 8 було вказано, що висоті звуку відповідає не одна певна частота, а деяка смуга частот, і що назви інтервалів зберігаються при різних, але близьких по величині интервальних коефіцієнтів.

Таким чином, «натуральні» м. септима 7/4, яка менше м. септими 12-звукового ладу 210 на 1/7 [14] тони, трохи відрізняється за своїми звуковими якостями від останньої, м. терція 19/16, яка менше м. терції 12-звукового ладу 24/12 на 1/68 тони, абсолютно не відрізняється від останньої.

Інтервал 11/8, який більше кварти 12-звукового ладу 25/12 на 1/4 тони і менше ув. кварти 26/12 на 1/4 тони, різко відрізняється від обох; інтервал 13/8, який більше м. сексти 12-звукового ладу 28/12 на 1/5 тони і менше б. сексти 12-звукового ладу 29/12 на 3/10, різко відрізняється від обох.

Таким чином введення в музичну практику нових інтервалів натурального звукоряд не дає помітного ефекту. Цей ефект повинен спостерігатися лише в тих випадках, коли інтервали, що вводяться різко відрізняються від інтервалів 12-звукового равномерно-темперированного ладу (наприклад, 11/8 і 13/8). Однак, дослідження показують, що і в цьому випадку ми не сприймаємо нових інтервалів, а сприймаємо частотні інтонації або попереднього або подальшого інтервалу (11/8 - або ч. кварта або ув. кварта). Ефект, що отримується від введення в музичну практику таких інтервалів, як 7/4 і 19/16, - нікчемний, оскільки інтервал 19/16 абсолютно не відрізняється від відповідних інтервалів 12-звукового ладу, 7/4 - відрізняється від них трохи.

Серед рівномірних темперації, в яких октава ділиться на більшу кількість частин, ніж 12, можна назвати передусім 24-звуковий равномерно-темперированний лад. Цей лад, що зберігає всі особливості 12-звукового равномерно-темперированного ладу, дає можливість здійснити з великою точністю інтервали, коефициенти яких містять в собі числа 11 і 13. Поліпшення терцій і секст (порівняно з 12-звуковий темперацией) в темперації, що розглядається не спостерігається.

Спроби складати музику в 24-звуковому равномерно-темперированном ладі не можна визнати вдалими. Інша рівномірна темперация, що являє собою розширення 12-звукової равномерно-темперированной системи, є 48-звукова рівномірна темперация.

У цьому ладі, що зберігає всі особливості як 12-звукової, так і 24-звуковий рівномірних темперації, можуть бути вельми точно здійснені інтервали, коефициенти яких містять в собі множник 7. Крім того, цей лад дає можливість отримати терції і сексти, вельми близькі до натуральних.

Музичні інструменти з фіксованою частотою звуків, необхідні для музичного використання цього ладу, вельми складні по своєму пристрою (48 звуків в октаві!). Спроби складати музику в 48-звуковому равномерно-темперированном ладі також не дали задовільних результатів.

Найбільш довершена в звуковому відношенні темперация була б 53-звукова, даюча можливість здійснити з великим наближенням інтервали як чистого, так і натурального ладу. Гармониум з 53 звуками в октаві був побудований Бозанкетом. Практичного застосування темперация, що розглядається також не отримала.

Зонний лад

Відтоді, як в музичному мистецтві з'явилося поняття лад, цим терміном стали називати сукупність частотних відносин звуків в ладу. Найбільш відомими є лад Піфагора (Древня Греція), чистий лад (Царліно) і 12-звуковий равномерно-темперированний лад (Нейдгардт і Веркмейстер).

Електровимірювальна акустична апаратура (, що З'явилася останнім часом генератор звукової частоти, хроматичний стробоскоп і т. п.) примусила нас змінити наше поняття про лад. Численні дослідження, проведені в акустичній лабораторії Московської державної консерваторії, показали, що наш слух не здатний сприймати частоту звуків і їх частотні відносини, а може сприймати тільки висоту звуків і їх висотні відносини, що ми сприймаємо як звук однієї і тієї ж назви цілу область близьких частот і як інтервал однієї і тієї ж назви цілий ряд частотних відносин між звуками. Ця смуга частот (зона) коливається в межах біля ± 25 центів (± 1/8 тони) навіть у висококваліфікованих музикантів-слухачів і виконавців на різних музичних інструментах.

Так, наприклад, у випробуваного № 2, що володіє чудовим абсолютним слухом, при прослуховуванні ним окремих звуків, зокрема - а1, зона абсолютного слуху виявилася рівною 42 центам (приблизно). У скрипаля О., при виконанні ним арії Баха з оркестрової сюїти D-dur (перекладення для скрипки з фортепиано Вільгельмі), спостерігалися відхилення від равномернотемперированного ладу до ± 30 центів [15]. Подібні відхилення спостерігаються і у виконавців на інших інструментах. Цікаво відмітити, що настройка фортепиано виробляється висококваліфікованими настроювачами не в 12-звуковому равномернотемперированном ладі, а в зонному ладі, в якому зустрічаються інтервали пифагорова і чистого ладів і в якому максимальні відхилення від равномернотемперированного ладу досягають ± 9 центів, а мінімальні - ± 2 центи [16].

Таким чином музичне мистецтво на практиці не користується і ніколи не користувалося ні пифагоровим ні чистим ладами загалом. Воно не може користуватися і відвернено-теоретичним равномерно-темперированним ладом, а користується зонним ладом, який є якимсь наближенням до 12-звукового равномерно-темперированному ладу і зумовлений зонною природою нашого слуху.

Отже, ми повинні розрізнювати два вигляду 12-звукового равномерно-темперированного ладу: відвернено-теоретичний, який існує тільки на папері, і практичний, в якому виконуються і сприймаються музичні твори, а також настроюються музичні інструменти (духові інструменти, фортепиано). Цей лад, більш або що менш наближається до теоретичного, можна назвати двенадцатизонним равномерно-темперированним музичним ладом.

[1] Даний розділ є яскравим прикладом «арифметичного» підходу до питань звуковисотного інтонування. Цей підхід продовжує жити в пошуках «чистої інтонації». (Т. В.)

[2] Музичний інструмент, що складався з струни, натягнутої на резонансний ящик.

[3] Перенесення звуку на октаву вниз відповідає збільшенню струни вдвоє.

[4] По середньовічній термінології.

[5] Коммой називається інтервал, менший 1/8 цілих тони.

[6] Temperare - приводити в порядок.

[7] Під словом чистий потрібно розуміти інтервали натуральні, т. е. інтервали, звуки яких знаходяться в найпростіших числових відносинах. Наприклад, октава 2: 1, квінта 3: 2, кварта 4: 3 і т. д.

[8] 261,63 х3=784,89

[9] 392х2=784,00

[10] 311,13x3=933,39

[11] 466,16x2=932,32

[12] (0,89+1,07+1,25+1,48)/4=1,1

[13] Практично відлічується приблизно 1 биття в секунду.

[14] 210/12:7/4=1,78: 1,75=1/7

[15] См. Гарбузов Н. А. Внутрізонний інтонаційний слух і методи його розвитку. Ізд. Музгиз, 1951 р.

[16] См. Гарбузов Н. А. Зонная природа звуковисохного слуху. Ізд. АН СРСР, 1948 р.