Реферати

Реферат: Вивчення вільних коливань і вимірювання прискорення вільного падіння

Підліток - неформальна група - делинквент. Розглянуто участь індивідів у групі як природна потреба людини. Саме тут відбувається взаємодія особистості і суспільства, розвиваються визначені вдачі, звички, стереотипи поводження.

Ценностно-ориентированная вовлеченность: активісти масових рухів. Мотиви активності: "діяти разом". Морально-емоційна основа мотивації.

Свиридов Георгій Васильович. Біографія композитора. Пісня і романс, вокальна музика. Традиції вокальної і вокально-симфонічної музики. Роботи для музичного театру. Світова слава Свиридова. Музика до кінофільмів, оперетам. Усенародна любов.

Погляд на потребі людини з погляду економіки. Економічний розвиток суспільства. Економічні важелі задоволення потреб людини. Взаємозв'язок виробництва і споживання. З економічної точки зору - споживання як одержання благ (матеріальних і духовних). Чотири основних типи споживання. Нові сервісні технології.

Апокрифічна філософія. Джерела "космічної філософії" восходят до творчості Радищева і Галича, досягаючи своєї метафізичний завершенности у філософії всеєдності Соловйова. Теорія супраморализма-религиозно-мистическое навчання про відродження предків. Навчання про монізм матерії.

Вивчення вільних коливань і

вимірювання прискорення сободного падіння

Мета роботи: вивчення вільних коливань математичного маятника і фізичного маятника (оборотного маятника Кетера) і визначення прискорення вільного падіння.

Обладнання: комбінована лабораторна установка, масштабна лінійка, секундомір.

1. Теоретична частина.

1.1. Гармонічні коливання і їх характеристики.

Колебанияминазиваются руху або процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. При коливальному русі маятника змінюється координата його центра маси, у разі змінного струму коливаються напруження і струм в ланцюгу. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізнюють коливання механічні, електромагнітні і інш. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями.

Коливання називаютсясвободнимиилисобственними, якщо вони здійснюються за рахунок спочатку повідомленої енергії при подальшій відсутності зовнішніх впливів на систему, що здійснює коливання. НайПростішим типом коливань являютсягармонические коливання- коливання, при яких фізична величина змінюється у часі згідно із законом синуса або косинуса. Розгляд гармонічних коливань важливий по двох причинах:

1) коливання, що зустрічаються в природі і техніці, приватно мають характер, близький до гармонічного;

2) різні види коливань можна представити як накладення гармонічних коливань.

Гармонічні коливання деякої величини описуються рівнянням типу

х(t)=А cos(w0t+j0)(1a)

або

х(t)=А sin(w0t+j0),(1б)

гдех(t)- миттєве значення колеблющейся величини в момент времениt, називаемоеотклонением, А- максимальне значення колеблющейся величини, називаемойамплитудой коливань, w0-кругова (циклічна) частота вільних колебанийиj=(w0+ j0)-фаза колебанийв момент времениt, j0-початкова фаза коливань. Фаза характерезует миттєвий стан коливальної системи і визначається відхиленням або смещениемхи величиною времениt. Оскільки косинус і синус змінюються в межах від +1 до -1, тохможет приймати значення від +Адо -A. Визначення стану системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок времениT, називаемийпериодом коливання. За проміжок времениTфаза коливання отримує приращение2П, т. е.(w0(t+Т)+j0))-(w0t+j0)=2П. Звідки

Т=2П/w0.(2)

Величина, зворотна періоду коливань:

v=1/Т, (3)

визначає число коливань, що здійснюються в одиницю часу, і називаетсячастотой коливань. Порівнюючи (2) і (3), отримаємо

w0=2Пv.(4)

Одиниця частоти - герц (Гц): 1 Гц - частота періодичного процесу, при якій за 1 із здійснюється одне повне коливання.

Перша і друга похідні відхиленнях(t) (скоростьvи ускорениеа) також змінюються згідно з гармонічним законом:

dx/dt=v(t) =-Aw0sin(w0t+j0) = Aw0cos(w0t+j0+р/2)(5a)

(5б)

т. е. має гармонічні коливання, що відбуваються з тією ж циклічною частотою. Амплітуда величин (5а) і (5б), відповідно, равниAw0иAw0. Фаза коливань прискорення (5а) відрізняється від фази коливань самої величини (1а) наП/2, а фаза коливань прискорення (5б) - наП. Отже, в момент часу, когдах=0, v=dx/dtприобретает найбільші позитивне або негативне значення. Когдахдостигает "-" або "+" max значення, величинаа=dx/dtприобретает відповідно "+" або "-" найбільше значення.

З (5б) следуетдифференциальное рівняння гармонічних коливань

(6)

де враховане, чтох=Acos(w0t+j0). Рішенням рівняння (6) і є вираження (1).

1.2 Механічні гармонічні коливання

Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вдовж координат X біля положення рівноваги, прийнятого за початок координат. Тоді залежність координати х від часу t задається ур-їм (1а):

х(t)= Acos(w0t+j0). Згідно з виразами (5а) і (5б) скоростьv(t) і ускорениеа(t) колеблющейся точки відповідно рівні:v(t)=Aw0cos(w0t+j0+р/2), a(t)=Aw0cos(w0t+j0+р).

СилаF=ma, діюча на колеблющуюся матеріальну точку массойm, з урахуванням виразів длях(t) иа(t) рівна

F=-mw0x.(7)

Отже, сила пропорційна зміщенню матеріальної точки з положення рівноваги і направлена в протилежну сторону.

Кінетична енергияматериальной точки, що здійснює прямолінійні гармонічні коливання, рівна

(8а)

або

(8б)

Потенційна енергияматериальной точки, що здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили, рівна

(8в)

або

(8)

Повна енергія колеблющейся точки:

(9)

Изформул (7б) і (8б) слідує, що кінетична і потенційна енергії колебдющегося тіла змінюються з частотой2w0. З аналізу вираження (9) слідує, що повна енергія колеблющейся точки є величина постійна.

1.3. Фізичний і математичний маятники

Прикладами тіл, що здійснюють гармонічні коливання, можуть служитьфизический і математическиймаятники.

1.3.1 Фічеський маятник

Фізичний маятник- тверде тіло, що здійснює під дією сили тягаря коливання навколо нерухомої горизонтальної осиОподвеса, що не проходить через центр массСтела (мал. 1).

Якщо маятник відхилений від положення рівноваги на деякий кут, то відповідно до рівняння динаміки обертального руху твердого тіла (е= M/J, гдее- кутове прискорення тіла, M - момент сил, діючих на тіло, J - момент інерції тіла відносно осі обертання) момент повертаючої силиFможно записати у вигляді

(10)

гдеM = Ftl=-mgl sina =-mgla, J- момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точкуО, l- відстань меду точкою подвеса і центром маси маятникаС, Ft= -mg sina== -mga - возращающаяся сила иg- прискорення вільного падіння.

Рівняння (10) можна записати у вигляді

(11)

або

(12)

Приймаючи

(13)

отримаємо рівняння

(14)

рішення якого відоме як:

(15)

З вираження (15) слідує, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічної частотойw0и періодом

(16)

гдеL=J/(ml) - приведена довжина фізичного маятника.

ТокаО'на продовженні прямойОС, віддалена від осі подвеса на расстоянииL, називається центром качаний фізичного маятника (див. мал. 1). Застосовуючи теорему Штейнера, можна показати, чтоОО'всегда большеОС=l. Точка подвесаОи центр качанийО'обладают властивістю взаємозамінності: якщо вісь подвеса зробити що проходить через центр качанийО', то точкаОпрежней осі подвеса стане новим центром качаний. При цьому період коливань фізичного маятника не зміниться, а відстань між точками подвеса буде дорівнює приведеній довжині маятника.

' Р=m'g

Рис. 1

1.3.2. Математичний маятник

Математичний маятник - ідеалізована система, що складається з матеріальної точки массойm, підвішеної на невагомій нерозтяжній нитці, і колеблющаяся під дією сили тягаря.

Момент інерції математичного маятникаJ =ml, гдеl- довжина маятника. Оскільки математичний маятник можна представити як окремий випадок фізичного маятника, передбачивши, що вся маса фізичного маятника зосереджена в одній точці - центрі маси, то, підставивши вираження моменту інерції математичного маятника в формулу (16), отримаємо відоме вираження для малих коливань математичного маятника.

(17)

Порівнюючи формули (16) і (17) бачимо, що, якщо приведена довжина фізичного маятника рівна довжині математичного маятника, то їх періоди коливань однакові. Отже, приведена довжина фізичного маятника - це довжина такого математичного маятника, період коливань даного фізичного маятника.

l

m

Рис.2

1.3.3 Оборотний маятник

Оборотний маятник є окремим випадком фізичного маятника і складається з стального стержня 2, двох легких опорних призм 3 і двох масивних вантажів 1, що має форму сочевиць (мал. 3). Призми і сочевиці можуть переміщатися по стержню і фіксуватися за допомогою гвинтів. Якщо маятник вивести з положення рівноваги то він буде здійснювати коливання у вертикальній площині, спираючись нижнім ребром однієї з призм на закріплений на масивному штативі опорний майданчик 4.

СоотношенієT = 2pJ/mgl(див. Формулу (16)) може бути використано для визначення прискорення сили тяжестиg. Для цього необхідно виміряти період коливання маятникаT, расстониеlмежду віссю гойдання і центром маси, визначити момент інерції маятникаJотносительно осі гойдання і виразити через нихg. Виявляється, однак, що з високою точністю можна виміряти тільки період колебанийТмаятника, а величиниlиJдостаточно точно визначити не вдається. Наприклад, для знаходження расстоянияlот осі качаний до центра маси маятника необхідно заздалегідь визначити положення центра маси, що зробити точно досить важко.

3

4

1

3

1

х

Рис.3

Достоїнством методу оборотного маятника для визначення прискорення вільного падіння є те, що величиниJиlне входять в розрахункову формулу дляg. Перейдемо до обговорення цього методу. Згідно з теоремою Гюйгенса-Штейнера, момент інерції фізичного маятника відносно осі качанийО (мал. 1)

J = Jc+ ml(18)

ГдеJc- момент інерції маятника відносно осі, паралельної осі качаний і що проходить через центр массСмаятника, l- відстань між осьюОи центром массС. Підставляючи вираження (18) в (16), отримується

(19)

Обговоримо, якісно, характер залежності періоду коливань від расстоянияlмежду центром маси і віссю качаний. При дуже малихlмомент сили тяжестиМ=-mgl sina(мал. 1), прагнучий повернути маятник в положення рівноваги, стає дуже малим і період коливань різко зросте. У пределеlо0, момент сили тягаря рівний нулю і коливання взагалі неможливі: маятник знаходиться в стані раавновесия. Це узгодиться з формулою (19): приlо0 період

(20)

В зворотній межі, для дуже большихl, можна пренебречьJcпо порівнянню сmlи розглядати фізичний маятник як математичний з довжиною подвесаl. У цьому випадку період колебанийТ=ПриlпериодТтакже необмежено зростає. При возрастанииlпериодTсначала убуває до деякого мінімального значенияTm=Tmin, а потім знову зростає. Якісно вигляд зависимостиT(l) зображений на мал. 4.

Значеніюl=0 відповідає центр маси маятника. Якщо маятник підвішувати по іншу сторону від центра маси, то, як видно з формули (19), зависимостьT(l) буде точно такий же. Тому графикT(l) має дві симетричні гілки, відповідні положенню точки подвеса маятника зліва або праворуч від його центра маси.

Т

Т

Tm

lml1 0 lm l2l

Рис.4

З графіка видно, що по кожну сторону від центра маси маятника є по дві точки подвеса, для яких періоди коливання маятника співпадають. Знайдемо такі два положенияl1иl2(l2=l1) точок подвеса по різні сторони від центра маси (мал. 5), щоб періоди коливань маятника співпадали:

Т(l1) = Т(l2).(21)

Як видно з (19), для цього необхідне виконання рівності

Jc/ml1+l1= Jc/ml2+l2(22)

яке має місце або приl1=l2, або при

l2=Jc/ml1(23)

В останньому випадку період коливань маятника

(24)

Отже, прискорення вільного падіння може бути определино по формулі

(24)

Як видно з (24), для нахожденияgдостаточно виміряти тільки дві величини: расстояниеL=(l1+l2) між точками подвеса маятника (опорними ребрами призм) і період коливань маятника в положенииl1и в "оберненому положении'l2, такому, чтоl1¹l2. При цьому періоди коливань повинні співпадати, т. е. повинно виконуватися условиеT(l1)=Т(l2)=T. Напомнім, що в цьому випадку величинаL=(l1+l2) називається приведеною довжиною маятника.

L

Рис.5

2. Експериментальна частина

2.1. Опис установки

Комбінована лабораторна установка дозволяє провести дослідження вільних коливань двох типів маятників: математичного і фізичного. Як фізичний маятник застосовується маятник Кетера.

Установка (мал. 6) складається з горизонтальної підставки 2, на якій закріплена вертикальна стойка 5. На верхньому торці стойки жорстко закріплений горизонтальний кронштейн 8. Чотири ніжки гвинта 1 дозволяють встановлювати підставку в горизонтальному положенні. З одного боку кронштейна знаходиться барабан 11, який може обертатися з невеликим зусиллям за допомогою ручки 10. Тонка нитка, немотанная еа барабан, пропущена через неболльшое отвір в кронштейні. На кінці нитки закріплена стальна кулька 3 невеликого радіуса. Кулька, подвешанний на нитці, можна рассмстривать як математичний маятник, що здійснює коливання у вертикальній площині. Довжину нитки, а тим самим і довжину маятника, можна міняти, обертаючи барабанчик.

11

10

9

6

8

4

7

l6

5

4

3

2

1

Рис.6

З протилежної сторони кронштейна в спеціальному гнізді подвешан оборотний маятник. Він складається з тонкого стального стержня 9, по якому можна переміщувати дві масивні сочевиці 4 і дві легкі опорні призми 6. Опорні призми і сочевиці фіксуються на стержні за допомогою гвинтів. Правильне взаємне розташування опорних призм і сочевиць на стержні приведене на малюнку 6. Нанесені на стержень ділення (ціна ділення - 1,0 см) дозволяють визначати положення призми і сочевиць на стержні. Маятник може здійснювати коливання у вертикальній площині.

Коливання як математичного, так і оборотного маятників будуть гармонічними, якщо амплітуда коливань не буде перевищувати декількох градусів (4 - 6)

2.2. Визначення прискорення сили тягаря за допомогою математичного маятника

2.2.1. Виведення робочої

Довжина маятника рівна відстані від точки подвеса до центра тягаря кульки, тому безпосередньо виміряти довжину маятника досить складно. Як видно з мал. 7 довжина маятникаl = l0+ r, гдеr- радіус кульки. При вимірюванні прискорення сили тягарі поступають таким чином: вимірюють з допомогою лінійки расстояниеhот основи підставки до кульки і діаметр шарика2r. Довжина маятника, як видно з малюнка, l = H-h-r. Потім визначають періоди вільних колебанийT1иT2маятников двох різних довжин:l'иl". З формули (17) маємо

l l0H

2r

h

Рис.7

Віднімаючи з другого вираження перше отримаємо:

Таким чином, для определенияgнеобходимо виміряти лише різниці довжин маятників. Причому

l"-l'=h'-h". При такому способі виключається необхідність визначення центра гойдання маятника.

2.2.2. Порядок виконання завдання

1. Встановити довжину маятника.

2. Виміряти за допомогою масштабної лінійки расстояниеh'от нижнього краю кульки до горизонтальної підставки.

3. Відвести кульку від положення рівноваги на невеликий кут (біля 4-5), відпустити кульку, надавши йому можливість вільно коливатися. У момент найбільшого відхилення маятника пустити секундомір і відлічити времяt1, протягом якого маятник совершитn=50 повних коливань. Вимірювання часу 50 коливань для довжини маятникаl'виполнить три рази. Результати вимірювань записати в таблицю 1.

4. Встановити нову довжину маятникаl". Виміряти расстояниеh'от нижньої кромки кульки до горизонтальної підставки. Відлічити времяt2, протягом якого маятник совершитn=50полних коливань. Вимірювання часу 50 коливань для маятникаl'виполнить три рази. Результати вимірювань записати в таблицю 1.

5. За результатами измеренийtвремени повних коливань розрахувати періоди колебанийT1иT2по формулеT=t/n. Розрахувати середні значенияT1иT2.

6. Обчислити прискорення сили тягаря і оцінити погрішність вимірювань. Результати обчислень занести в таблицю 1. Таблиця 1.

№ п/пh', h", мм nt1, t2, сT1, T2, cT1ср, T2ср, сg, м/з

2.3. Визначення прискорення сили тягаря методом оборотного маятника.

Щоб визначити прискорення сили тягаря за допомогою оборотного маятника, необхідно виміряти приведену довжину маятника. Нагадаємо, що, якщо періоди коливань фізичного маятника для двох точок подвеса рівні, то відстань між точками подвеса дорівнює приведеній довжині. Т. о., необхідно підібрати такі положення сочевиць і опорних призм, щоб періоди коливань для двох точок подвеса були рівні. Можливі два варіанти.

У першому випадку сочевиці не переміщують. Переміщуючи опорні призми, підбирають такі положення, щоб періоди коливань були рівні. Звичайно досить переміщувати тільки одну призму. У другому випадку призми і одна з сочевиць нерухомі. Переміщуючи другу сочевицю, знаходять таке її положення, коли періоди для двох точок подвеса також співпадають. Як правило, при виконанні завдання використовують другий варіант.

1. Закріпити сочевиці на стержні в несиметричному положенні: одну сочевицю - на відстані

1-2 см від кінця стержня, другу сочевицю - поблизу центра стержня. У цьому випадку центр маси маятника знаходиться між сочевицями і зміщений відносно середини стержня.

2. Виміряти расстояниехот кінця стержня до площини призми. Відвести маятник від положення рівноваги на невеликий кут (біля 4-5), і відпустити, надавши йому здійснювати вільні коливання. У момент найбільшого відхилення маятника пустити секундомір і відлічити час

t, протягом якого маятник совершитn=50 повних коливань. Результати вимірювань записати в таблицю 2.

3. Перевернути маятник і підвісити на другу призму. Виконати пункт 2.

4. Пересунути сочевицю, що знаходиться у кінця стержня, на 1см і виконати пункт 2. Перевернути маятник і виконати пункт 2.

5. Повторити пункти 3 і 4, пересуваючи сочевицю з кроком 1 см, 9-10 разів.

6. Розрахувати періоди коливань маятника для двох точок подвеса при різних положеннях сочевиці. Побудувати графік залежності періодів коливань маятника від положення сочевиці для обох точок подвеса.

7. З графіка знайти положення сочевиці, при якому періоди коливань рівні для двох точок подвеса. Виміряти відстань між точками подвеса. Виміряна відстань буде дорівнює приведеній довжині маятника для такого положення сочевиці, при якому для обох точок подвеса періоди рівні. З графіка визначити період коливань (Т=T1=T2).

8. По формулі (16) визначити прискорення сили тягаря і оцінити погрішність вимірювань.

Таблиця 2

№ п/п Положення Перша точка подвеса Друга точка подвеса

сочевиці, n

х, смt0, сT1, сt2, сT2, з