Реферати

Реферат: Види доказів

Автоматизація обліку продажу товарів у магазинах. Розробка програмного забезпечення для підприємця, власника магазинів, що дозволить йому вести облік продажу товарів у кожнім з них, використовуючи мову програмування високого рівня. Висновок повідомлень про помилки при введення невірних команд.

Творчість майстрів високого італійського Відродження (Леонардо да Вінчі). Відродження і Леонардо. Леонардо да Вінчі. "Таємна вечеря".

Основи монументально-декоративного живопису в європейському мистецтві. Особливості монументального мистецтва, його значення в різні періоди, історія розвитку. Техніка створення вітражів у XIX-XX вв. Фресковий живопис у Росії і Європі. Використання мозаїки в оформленні древніх і середньовічних архітектурних споруджень.

Конфлікти в професійній діяльності юриста. Психологічні особливості особистості, що впливають на виникнення конфлікту. Конфлікти в міжособистісних відносинах співробітників відділів. Методи керування конфліктами. Методичні рекомендації з попередження конфліктів у колективі співробітників відділу.

Державні символи Російської Федерації і їхнє використання. Особливості державного прапора, герба, гімну Російської Федерації. Аналіз поняття про державу, загальна характеристика держави як суспільного інституту. Держава як основний інститут суспільної системи, його функції й історичних типів.

зміст

Прямий і непрямий доказ... 3

Прямий доказ... 4

Непрямий доказ... 5

Слідства, що суперечать фактам... 7

Внутрішньо суперечливі слідства... 7

Розділовий доказ... 9

Висновок... 11

ЛІТЕРАТУРА... 12

Прямий і непрямий доказ

Німецький філософ XIX в. А. Шопенгауер вважав математику досить цікавою наукою, але що не має ніяких додатків, в тому числі і в фізиці. Він навіть відкидав саму техніку суворих математичних доказів. Шопенгауер називав їх мишоловками і приводив як приклад доказ відомої теореми Піфагора. Воно є, звісно, точним; ніхто не може полічити його помилковим. Але воно являє собою абсолютно штучний спосіб міркування. Кожний крок його переконливий, однак до кінця доказу виникає почуття, що ви попали в мишоловку. Математик вимушує вас допустити справедливість теореми, але ви не отримуєте ніякого реального розуміння. Це все одно, як якби вас провели через лабіринт. Ви нарешті виходите з лабіринту і говорите собі: «Так, я вийшов, але не знаю, як тут опинився».

Позиція Шопенгауера, звісно, курйоз, але в ній є момент, заслуговуючий уваги. Треба уміти прослідити кожний крок доказу. Інакше його частини позбавляться зв'язку, і воно в будь-який момент може розсипатися, як картковий будиночок. Але не менш важливо зрозуміти доказ загалом, як єдину конструкцію, кожна частина якої необхідна на своєму місці. Якраз такого цілісного розуміння не вистачало, ймовірно, Шопенгауеру. У результаті загалом-то простий доказ представився йому блуканням в лабіринті: кожний крок шляху ясний, але загальна лінія руху покрита темрявою.

Доказ, не зрозумілий як ціле, ні в чому не переконує. Навіть якщо вивчити його напам'ять, пропозиція за пропозицією, до знання предмета, що є це нічого не додасть. Стежити за доказом і лише переконуватися в правильності кожного його подальшого кроку - це, зі слів французького математика А. Пуанкаре, рівносильно такому спостереженню за грою в шахи, коли помічаєш тільки те, що кожний хід підлеглий правилам гри.

Мінімальна вимога - це розуміння логічного виведення як цілеспрямованої процедури. Тільки в цьому випадку досягається інтуїтивна ясність того, що ми робимо.

«Я примушений зізнатися, - помітив якось Пуанкаре, - що позитивно не здатний зробити без помилки складання. Моя пам'ять не погана; але щоб стати хорошим гравцем в шахи, вона виявилася б недостатньою. Чому ж вона не змінює мені в складних математичних міркуваннях, в яких заплуталися б більшість шахових гравців? Це відбувається, очевидно, тому, що в цьому випадку пам'ять моя прямує загальним ходом міркування. Математичний доказ не є просте зчеплення умовиводів: це умовиводи, розташовані в певному порядку; і порядок, в якому розташовані ці елементи. Якщо у мене є почуття... цього порядку, внаслідок чого я відразу можу обійняти всю сукупність міркувань, мені вже чогось боятися забути який-небудь елемент; кожний з них сам собою поміститься свою ...»

Те, що створює, по вираженню Пуанкаре, «єдність доказу», можна представити в формі загальної схеми, що охоплює основні його кроки, що втілює в собі загальний принцип або його підсумкову структуру. Саме така схема залишається в пам'яті, коли забуваються подробиці доказу. З точки зору загального руху думки, всі докази поділяються на прямі і непрямі.

Прямий доказ

При прямому доказі задача складається в тому, щоб підшукати такі переконливі аргументи, з яких за логічними правилами виходить теза.

Наприклад, треба довести, що сума кутів чотирикутника рівна 360°. З яких тверджень можна було б вивести цю тезу? Зазначаємо, що діагональ ділить чотирикутник на два трикутники. Значить, сума його кутів рівна сумі кутів двох трикутників. Відомо, що сума кутів трикутника становить 180°. З таких положень виводимо, що сума кутів чотирикутника рівна 360°.

У побудові прямого доказу можна виділити два пов'язаних між собою етапу: відшукання тих, визнаних обгрунтованими тверджень, які здатні бути переконливими аргументами для доводжуваного положення; встановлення логічного зв'язку між знайденими аргументами і тезою. Нерідко перший етап вважається підготовчим і під доказом розуміється дедукція, зв'язуюча підібрані аргументи і доводжувану тезу.

Ще приклад. Треба довести, що космічні кораблі підкоряються дії законів небесної механіки. Відомо, що ці закони універсальні: їм підкоряються всі тіла в будь-яких точках космічного простору. Очевидно також, що космічний корабель є космічне тіло. Відмітивши це, будуємо відповідний дедуктивний умовивід. Воно є прямим доказом твердження, що розглядається.

Непрямий доказ

Непрямий доказ встановлює справедливість тези тим, що розкриває помилковість протилежного йому допущення, антитезиса.

Як з іронією помічає американський математик Д. Пойа, «непрямий доказ має деяку схожість з надувательским прийомом політикана, підтримуючого свого кандидата тим, що ганьбить репутацію кандидата іншої партії».

У непрямому доказі міркування йде як би обхідним шляхом. Замість того щоб Прямо відшукувати аргументи для виведення з них доводжуваного положення, формулюється антитезис, заперечення цього положення. Далі тим або інакшим способом показується неспроможність антитезиса. Згідно із законом виключеного третього, якщо одне з перечачих один одному тверджень помилкове, друге повинне бути вірним. Антитезис помилковий, значить, теза є вірною.

Оскільки непрямий доказ використовує заперечення доводжуваного положення, воно є, як говорять, доказом від противного.

Допустимо, треба побудувати непрямий доказ такої вельми тривіальної тези: «Квадрат не є колом». Висувається антитезис: «Квадрат є коло». Необхідно показати помилковість цього твердження. З цією метою виводимо з нього слідства. Якщо хоч би одне з них виявиться помилковим, це буде означати, що і саме твердження, з якого виведене слідство, також помилкове. Невірним є, зокрема, таке слідство: у квадрата немає кутів. Оскільки антитезис помилковий, початкова теза повинна бути істинною.

Інший приклад. Лікар, переконуючи пацієнта, що той не хворий грипом, міркує так. Якби дійсно був грип, були б характерні для нього симптоми: головний біль, підвищений температура і т. п. Але нічого подібного немає. Значить, немає і грипу.

Цей знов-таки непрямий доказ. Замість прямого обгрунтування тези висувається антитезис, що у пацієнта дійсно грип. З антитезиса виводяться слідства, але вони спростовуються об'єктивними даними. Це говорить, що допущення про грип невірне. Звідси слідує, що тезу «Грипу немає» істинний.

Докази від противного звичайні в наших міркуваннях, особливо в спорі. При умілому застосуванні вони можуть володіти особливою переконливістю.

Отже, хід думки в непрямому доказі визначається тим, що замість обгрунтування справедливість тези прагне показати неспроможність його заперечення. У залежності від того, як вирішується остання задача, можна виділити декілька різновидів непрямого доказу.

Слідства, що суперечать фактам

Частіше за все помилковість антитезиса вдається встановити простим зіставленням витікаючих з нього слідств з фактами. Так йшло, зокрема, справа в прикладі з грипом.

Друг винахідника парової машини Д. Уатта шотландський вчений Д. Блек ввів поняття про приховану теплоту плавлення і випаровування, важливе для розуміння роботи такої машини. Блек, спостерігаючи звичайне явище - танення снігу в кінці зими, міркував так: якби сніг, що скупчився за зиму, танув відразу, як тільки температура повітря стала вище за нуль, то неминучі були б спустошливі повені, а раз цього не відбувається, значить, на танення снігу повинна бути затрачене певна кількість теплоти. Її Блек і назвав прихованою.

Це - непрямий доказ. Слідство антитезиса, а значить, і він сам, спростовується посиланням на очевидну обставину: в кінці зими повеней звичайно немає, сніг тане поступово.

Внутрішньо суперечливі слідства

Згідно з логічним законом несуперечності одне з двох перечачих один одному тверджень є помилковим. Тому, якщо в числі слідств якого-небудь положення зустрілися і твердження і заперечення одного і того ж, можна відразу ж укласти, що це положення помилкове.

Наприклад, положення «Квадрат - це коло» помилково, оскільки з нього виводиться як те, що квадрат має кути, так і те, що у нього немає кутів.

Помилковим буде також положення, з якого виводиться внутрішньо суперечливе висловлювання або висловлювання про тотожність затвердження і заперечення.

Один з прийомів непрямого доказу - виведення з антитезиса логічної суперечності. Якщо антитезис містить суперечність, він явно помилковий. Тоді його заперечення - теза доказу - вірно.

Хорошим прикладом такого міркування служить відомий доказ Евкліда, що ряд простих чисел нескінченний.

Прості - це натуральні числа більше одиниці, що діляться тільки на себе і на одиницю. Прості числа - це як би «первинні елементи», на які всі цілі числа (більше 1) можуть бути розкладені. Природно передбачити, що ряд простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11,13,... - нескінченний. Для доказу даної тези допустимо, що це не так, і подивимося, до чого веде таке допущення. Якщо ряд простих чисел кінцевий, існує останнє просте число ряду - А. Образуєм далі інше число: У = (2 - 3 - 5 -... - А) + 1. Число В більше А, тому В не може бути простим числом. Значить, В повинно ділитися на просте число. Але якщо В розділити на будь-яке з чисел 2, 3, 5,. .. А, то в залишку вийде 1. Отже, В не ділиться ні на одне з вказаних простих чисел і є, таким чином, простим. У результаті, виходячи з припущення, що існує останнє просте число, ми прийшли до суперечності: існує число одночасно і простої, і що не є простим. Це означає, що зроблене припущення помилково і правильно протилежне твердження: ряд простих чисел нескінченний.

У цьому непрямому доказі з антитезиса виводиться логічна суперечність, що прямо говорить про помилковість антитезиса і відповідно про істинність тези. Такого роду доказу широко використовуються в математиці.

Якщо є у вигляду тільки та частина подібних доказів, в якій показується помилковість якого-небудь припущення, вони іменуються по традиції приведенням до абсурду. Помилковість припущення розкривається тим, що з нього виводиться відверта безглуздість.

Є ще один різновид непрямого доказу, коли прямо не доводиться шукати помилкові слідства. Справа в тому, що для доказу твердження досить показати, що воно логічно витікає з свого власного заперечення.

Цей прийом спирається на закон Клавія, говорячий, що якщо з помилковості твердження витікає його істинність, то твердження істинне.

Наприклад, якщо з допущення, що двічі два дорівнює п'яти, виведено, що це не так, тим самим доведено, що двічі два не дорівнює п'яти.

По такій схемі міркував ще Евклід в своїй «Геометрії». Цю ж схему використав одного разу древньогрецький філософ Демокріт в спорі з іншим древньогрецький філософом, софістом Протагором. Протагор затверджував, що істинне все те, що будь-кому приходить в голову. На це Демокріт відповів, що з положення «Кожне висловлювання істинно» витікає істинність і його заперечення «Не все висловлювання істинні». І значить, це заперечення, а не положення Протагора насправді істинне.

Розділовий доказ

У всіх розглянутих непрямих доказах висуваються дві альтернативи: теза і антитезис. Потім показується помилковість останнього, в результаті залишається тільки теза.

Можна не обмежувати число можливостей, що приймаються до уваги тільки двома. Це приведе до так званого розділового непрямого доказу, або доказу через виключення. Воно застосовується в тих випадках, коли відоме, що доводжувана теза входить в число альтернатив, повністю вичерпних всі можливі альтернативи даної області.

Наприклад, треба довести, що одна величина рівна іншою. Ясно, що можливі тільки три варіанти: або дві величини рівні, або перша більше другої, або, нарешті, друга більше першої. Якщо вдалося показати, що жодна з величин не перевершує іншу, два варіанти будуть відкинуті і залишиться тільки третій: величини рівні.

Доказ йде по простій схемі: одна за іншою виключаються всі можливості, крім однієї, яка і є доводжуваною тезою. У стандартних непрямих доказах альтернативи - теза і антитезис - виключають один одну внаслідок законів логіки. У розділовому доказі взаємна несумісність можливостей і те, що ними вичерпуються всі мислимі альтернативи, визначаються не логічними, а фактичними обставинами. Звідси звичайна помилка розділових доказів: розглядаються не всі можливості.

За допомогою розділового доказу можна спробувати, наприклад, показати, що в Сонячній системі життя є тільки на Землі. Як можливі альтернативи висунемо твердження, що життя є на Меркурій, Венері, Землі і т. д., перелічуючи всі планети Сонячної системи. Спростовуючи потім всі альтернативи, крім однієї - говорячого про наявність життя на Землі, отримаємо доказ початкового твердження.

Треба помітити, що в ході докази розглядаються і спростовуються допущення про існування життя на інших планетах. Питання про те, чи якщо життя на Землі, взагалі не підіймається. Відповідь виходить непрямим образом: шляхом показу того, що ні на одній іншій планеті немає життя. Цей доказ виявився б, звісно, неспроможним, якби, допустимо, з'ясувалося, що, хоч ні на одній планеті, крім Землі, життя немає, живі істоти є на одній з комет або на одній з так званих малих планет, також вхідних до складу Сонячної системи.

Висновок

Закінчуючи розмову про непрямі докази, звернемо увагу на їх своєрідність, що обмежує певною мірою їх застосовність.

Немає сумніву, що непрямий доказ являє собою ефективний засіб обгрунтування. Але, маючи з ним справу, ми вимушені весь час зосереджуватися не на вірному положенні, справедливість якого необхідно обгрунтувати, а на помилкових твердженнях. Сам хід доказу складається в тому, що з антитезиса, що є помилковим, ми виводимо слідства доти, поки не прийдемо до твердження, помилковість якого безперечна.

ЛІТЕРАТУРА

1. Арно А., Ніколь П. Логика, або Мистецтво мислити, М,: Наука, 1981.

2. Гарднер М. А нумо, здогадайся! М.: Мир, 1984.

3. Горский Д. П., Івін А. А., Нікифоров А. Л. Краткий словник за логікою. М,: Освіта, 1991.

4. Ивин А, А. Іськусство правильно мислити. М,: Освіта, 1991.

5. Ивин А. А, По законах логіки. М., 1983.

6. Кириллов В. И. Упражненія за логікою, М,, 1994.

7. Ковальски Р. Логика в розв'язанні проблем, М.: Наука, 1991.

8. Поварнин С. И. Іськусство суперечки. М., 1995.