Реферати

Реферат: Аналіз виробничих функцій

Досвід застосування критерію Сильвестра в деяких задачах стійкості консервативних систем. Коротка біографія англійського математика Дж. Сильвестра. Стійкість рівноваги консервативної системи з кінцевим числом ступенів волі. Функції Ляпунова і критерій Сильвестра. Приклад визначення умови стійкості рівноважного положення системи.

Суть, основні поняття й особливості перекладу Бхагавадгити. Вивчення особливостей Бхагавадгити - частини Махабхарати, ведического добутку, що містить у собі історію древньої держави, древньої імперії, що уключала всі древні держави - Бхарата Варша. Основні поняття і проблеми перекладу книги.

Розрахунок параметрів електричного ланцюга. Складання на основі законів Кирхгофа системи рівнянь для розрахунку струмів у галузях схеми. Визначення струмів у всіх галузях схеми методом контурних струмів. Розрахунок системи рівнянь методом визначників. Визначення струму методом еквівалентного генератора.

Соціальний гедонізм. Вивчення феномена гедонізму - типу етичних навчань і моральних поглядів, у яких усі моральні визначення виводяться з насолоди і страждання. Суспільство споживання: сутність, характеристики. Молодь сучасної Росії: ціннісні пріоритети.

Многочастотние РЛС. Теоретичні основи радіолокації. Формування многочастотного сигналу. Многочастотная радіолокація цілей. Способи обробки многочастотних сигналів. Перешкодозахищеність многочастотних РЛС. Перевага радіолокаційних засобів у порівнянні з оптичними.

Курсова робота:

"Аналіз виробничих функцій"

Група: ДИ 302

Студент: Шеломанов Р. Б.

Керівник: Зуев Г. М

Москва 1999

Зміст

Теоретична частина 3

Мультіплікатівная виробнича функція 3

Лінійна виробнича функція 10

Виробнича функція витрати-випуск 10

Практична частина 10

Задача 10

Рішення 10

Висновок 11

Література 12

Теоретична частина

Мультіплікатівная виробнича функція

Виробнича функція (ПФ) виражає залежність результату виробництва від витрат ресурсів. При описі економіки (точніше, її виробничої підсистеми) з допомогою ПФ ця підсистема розглядається як «чорний ящик», на вхід якого поступають ресурси R1,. .., Rn, а на виході виходить результат у вигляді річних обсягів виробництва різних видів продукцииХ1,. .., Хm.

Як ресурси (чинників виробництва) на макроуровне найчастіше розглядаються накопичений труд в формі виробничих фондів (капітал) Ки справжній (живої) трудL, а як результат - валової випускХ (або валової внутрішній продуктY, або національний доходN). У всіх випадках результат коротко будемо називати випуском і обозначатьX, хоч це може бути і валовий випуск, і ВВП, і національний дохід.

Зупинимося дещо детальніше на обгрунтуванні складу фактораК. Накопичений минулий труд виявляється в основних і оборотних, виробничих і невиробничих фондах. Вибір того або інакшого составаKопределяется метою дослідження, а також характером розвитку виробничої і невиробничої сфер в період, що вивчається. Якщо в цей період в невиробничу сферу вкладається приблизно постійна частка знову створеної вартості і невиробнича сфера впливає на виробництво приблизно однаковий чином, це служить основою прямо враховувати в ПФ тільки виробничі фонди.

Але виробничі фонди складаються з основних і оборотних виробничих фондів. Якщо співвідношення між цими складовими частинами виробничих фондів приблизно постійне протягом періоду, що усього вивчається, то досить прямо враховувати в ПФ тільки основні виробничі фонди.

Якщо період, що вивчається досить тривалий і однорідний по впливу на виробництво вказаних вище складових частин, потрібно випробувати всі варіанти включення їх в модель (від всіх разом до якогось одного з них). Щоб не вдаватися в деталі, далі будемКназивать фондами.

Таким чином, економіка заміняється своєю моделлю в формі нелінійної ПФ

Х=F(K, L),

т. е. випуск (продукції) є функція від витрат ресурсів (фондів і труда).

Тепер розглянемо економічну інтерпретацію основних характеристик ПФ на прикладі мультипликативной функції (зокрема, функції Кобба-Дугласа), деякі інші ПФ, що використовуються в економіці, розберемо в кінці роботи.

Виробнича функцияХ=F(K, L) називаетсянеоклассической, якщо вона є гладкою і задовольняє наступним умовам, що піддаються природній економічній інтерпретації:

1)F(0, L)=F(K, 0) = 0

- при відсутності одного з ресурсів виробництво неможливе;

2)

- сростом ресурсів випуск зростає;

3)

- сувеличением ресурсів швидкість росту випуску сповільнюється;

4) f(+¥)(,L)=F(K,+¥) = +¥

- при необмеженому збільшенні одного з ресурсів випуск необмежено зростає.

МультіплікатівнаяПФ задається вираженням

a1 > 0 a2 > 0

гдеА - коефіцієнт нейтрального технічного прогресу; а1, a2-коефіцієнти еластичності по труду і фондам.

Таким чином, ПФ володіє властивістю 1, адекватною реальній економіці: при відсутності одного з ресурсів виробництво неможливе. Окремим випадком цієї функції служить функція Кобба-Дугласа

Де a1=a, a2=1-a

Мультіплікатівная ПФ визначається по тимчасовому ряду випусків і витрат ресурсів (Хt, Кt, Lt,), t=1,. .., Т, де Т- довжина тимчасового ряду, при цьому передбачається, що має местоТсоотношений

де dt- корректировочний випадковий коефіцієнт, який приводить у відповідність фактичний і розрахунковий випуск і відображає флюктуацию результату під впливом інших чинників, Мdt=1. Оскільки в логарифмах ця функція лінійна:

InХt=InA +atInKt+a2InLt+ et, де et= In dt, Мet=0,

отримуємо модель лінійної множинної регресії. Параметри функцииА, a1, a2могут бути визначені по методу найменших квадратів за допомогою стандартних пакетів прикладних програм, вмісних метод множинної регресії (наприклад, STATGRAF або SAS для персональних ЕОМ).

Як приклад приведемо мультипликативную функцію валового випуску Російської Федерації (млрд. крб.) в залежності від вартості основних виробничих фондів (млрд. крб.) і числа зайнятих в народному господарстві (млн. чол.) за даними за 1960-1994 рр. (всі вартісні показники дані в порівнянних цінах для цього періоду):

X=0,931K0,539L0,594

Мультіплікатівная функція володіє також властивістю 2, адекватною реальній економіці: із зростанням витрат ресурсів випуск збільшується, т. е.

Оскільки a1 > 0

Оскільки a2 > 0

Приватні похідні випуску по чинниках називаютсяпредельними продуктамиилипредельними (маржинальними) еффективностямифакторов і являють собою приріст випуску на малу одиницю приросту чинника:

- граничний продукт фондів, гранична фондоотдача (гранична ефективність фондів);

- граничний продукт труда, гранична продуктивність (гранична ефективність труда).

Для мультипликативной функції вказаної вище витікає, що гранична фондоотдача пропорційна середній фондоотдаче - з коефіцієнтом a1, а гранична продуктивність труда - середньої продуктивності труда - з коефіцієнтом а2:,

З чого витікає, що при а1 < 1, a2 < 1 гранична віддача чинників менше середніх; при цих же умовах мультипликативная функції володіє властивістю 3, яка дуже часто спостерігається в реальній економіці: із зростанням витрат ресурсу його гранична віддача падає, т. е.

оскільки а1 <

оскільки а2 <1

З також видно, що мультипликативная функція володіє властивістю 4, т. е. при необмеженому збільшенні одного з ресурсів випуск необмежено зростає. Таким чином, мультипликативная функція при 0 < а1 < 1, 0 < а2 < 1 є неокласичною.

Перейдемо тепер до економічної інтерпретації параметровА, а1, а2мультипликативной ПФ. ПараметрАобично інтерпретується як параметр нейтрального технічного прогресу: при тих же а1, а2випуск в точці (ДО, L) тим більше, ніж большеА. Для інтерпретації а1, а2необходимо ввести понятиееластичностейкак логарифмічних похідних чинників:

Оскільки в нашому випадку InХ =InА +a1lnК +a1lnL, то

т. е. а1- еластичність випуску по основних фондах, а a2- еластичність випуску по труду.

З

видно, що коефіцієнт еластичності чинника показує, на скільки відсотків збільшиться випуск, якщо чинник зросте на 1%. Наприклад, згідно ПФ X=0,931K0,539L0,594

при збільшенні основних фондів (ОФ) на 1% валовий випуск підвищиться на 0,539%, а при збільшенні зайнятих на 1% - на 0,594%.

Якщо а1 > a2имеет местотрудосберегающий (інтенсивний) зростання, в іншому випадку - фондосберегающчй (екстенсивний) зростання.

Розглянемо темп зростання випуску

Якщо сповісти обидві частини рівняння в міру, отримаємо співвідношення

в якому праворуч - зважене середнє геометричне темпів зростання витрат ресурсів, при цьому як вага виступає відносна еластичність чинників

При а1+ а2 > 1 випуск зростає швидше, ніж в середньому зростають чинники, а при а1+ а2 < 1 - повільніше. Дійсно, якщо чинники зростають (т. е. Kt+1 > Kt, Lt+1 > Lt) те згідно зростає і випуск (т. е. Xt+1 > Xt), отже, при а1+ а2 > 1

т. е. дійсно, темп зростання випуску більше середнього темпу зростання чинників. Таким чином, при а1+ а2 > 1 ПФ описує зростаючу економіку.

Лінією рівня на плоскостиК, L, илиизоквантой, називається безліч тих точок площини, для которихF(K, L) =Х0=const. Для мультипликативной ПФ изокванта має вигляд:

або

т. е. є статечною гіперболою, асимптотами якої служать осі координат.

Для разнихК, L, лежачих на конкретної изокванте, випуск рівний одному і тому ж значенню X0, що еквівалентно затвердженню про взаємозамінність ресурсів.

Оскільки на изоквантеF(K, L) = Х0= const, то

В цьому співвідношенні, поетомуdKиdLимеют різні знаки: еслиdL < 0 що означає скорочення об'єму труда, то dK > 0, т. е вибулий в об'ємі труд заміняється фондами в об'ємі dK.

Тому природне наступне визначення, витікаюче з.

Граничною нормою замениSKтруда фондаминазивается відношення модулів диференціалів ОФ і труда:

відповідно, гранична норма замениSLфондов трудом

при цьому SkSL=1

Для мультипликативной функції норма заміщення труда фондами пропорційна фондовооруженности:,

що абсолютно природно: нестачу труда можна компенсувати його кращої фондовооруженностью.

Изоклиналяминазиваются лінії найбільшого зростання ПФ. Изоклинали ортогональни лініям нульового зростання, т. е. изоквантам. Оскільки напрям найбільшого зростання в кожній точці (ДО, L) задається градієнтом

grad, то рівняння изоклинали записується в формі

Зокрема, для мультипликативной ПФ отримуємо,

тому ізокліналь задається диференціальним рівнянням,,

яке має рішення,

де (L0; К0) - координати точки, через яку проходить ізокліналь. Найбільш проста ізокліналь приа = 0представляет собою пряму

На мал. 1 зображені изокванти і изоклинали мультипликативной ПФ.

При вивченні чинників зростання економіки виделяютекстенсивниефактори зростання (за рахунок збільшення витрат ресурсів, т. е. збільшення масштабу виробництва) і

мал. 1

интенсивниефактори рости (за рахунок підвищення ефективності використання ресурсів).

Виникає питання: як з допомогою ПФ виразитьмасштаб і ефективність виробництва? Це порівняльне легко зробити, якщо випуск і витрати виражені в сумірних одиницях, наприклад представлені в сумірній вартісній формі. Однак проблема соизмерения теперішнього часу і минулого труда досі не вирішена задовільним образом. Тому скористаємося переходом до відносних (безрозмірним) показників. У відносних показниках мультипликативная ПФ записується таким чином:

ті X0, K0L0-значення випуску і витрат фондів і труда в базовий рік.

Безрозмірна форма, вказана вище, легко приводиться до первинного вигляду

Таким чином, коефіцієнт

отримує природну інтерпретацію - це коефіцієнт, який соизмеряет ресурси з випуском. Якщо визначити випуск і ресурси у відносних (безрозмірних) одиницях вимірювання через х, k, l, то ПФ в формі

запишеться так:

Знайдемо тепер ефективність економіки, представленої ПФ. Нагадаємо, що ефективність - це відношення результату до витрат. У нашому випадку два вигляду витрат: витрати минулого труда у вигляді фондовkи справжнього трудаl. Тому є два частнихпоказателя ефективності: - фондоотдача, - виробник труда.

Оскільки приватні показники ефективності мають однакову розмірність (точніше, однакове безразмерни), то можна знаходити будь-які середні з них. Оскільки ПФ виражена в мультипликативной формі, то і середнє природно взяти в такій же формі, т. е. среднегеометрическое значення.

Отже, узагальнений показник економічної ефективності є зважене середнє геометричне приватних показників економічної ефективності:

в якому роль ваги виконує відносна еластичність

т. е. приватна ефективність бере участь в утворенні узагальненої ефективності з такими ж пріоритетами, з якими входять в ПФ відповідні ресурси.

З витікає, що за допомогою коефіцієнта економічної ефективності ПФ перетворюється в форму, зовні співпадаючу з функцією Кобба-Дугласа:

k=Ekal1-a

в співвідношенні з чемЕ - не постійний коефіцієнт, а функція від (ДО, L).

Оскільки масштаб производстваМпроявляется в об'ємі затрачених ресурсів, то по тих же міркуваннях, які були приведені при розрахунку узагальненого показника економічної ефективності, середній розмір використаних ресурсів (т. е. масштаб виробництва)

M=kal1-a

В результаті отримуємо, що випускХесть твір економічної ефективності і масштабу виробництва:

Х=ЇСТИ.

Лінійна виробнича функція

X=F(K, L)=EKK+ELL

Де EKи ELчастние ефективності ресурсів.

EK=-фондоотдача, EL= - виробник труда.

Оскільки приватні показники ефективності мають однакову розмірність (точніше, однакове безразмерни), то можна знаходити будь-які середні з них.

Еластичність заміни труда фондами для лінійної ПФ = ¥

ця величина показує, на скільки відсотків треба змінити фондовооруженность, щоб добитися зміни норми заміни на 1%.

Виробнича функція витрати-випуск

X=F(K, L)=

Де:

Коефіцієнти еластичність представлена у вигляді логарифмічних похідних чинників показують, на скільки відсотків збільшиться випуск, якщо чинник зросте на 1%. Наприклад, згідно ПФ X=0,931K0,539L0,594

при збільшенні основних фондів (ОФ) на 1% валовий випуск підвищиться на 0,539%, а при збільшенні зайнятих на 1% - на 0,594%.

Практична частина

Задача

Дана виробнича функція валового внутрішнього продукту США по даним 1960-1995 рр.

X=2,248K0,404L0,803

Валовий внутрішній продукт США, виміряний в млрд. дол. в цінах 1987 р. зріс з 1960 по 1995 р. в 2,82 рази, основні виробничі фонди за цей же період збільшилися в 2,88 рази, число зайнятих - в 1,93 рази.

Необхідно розрахувати масштаб і ефективність виробництва.

Рішення

З умовах= 2,82 k=2,88l=1,93;

(' початки знаходимо відносну еластичність по фондах і труді

Потім визначаємо приватну ефективність ресурсів

після чого знаходимо узагальнений показник ефективності як середнє геометричне приватних:

Масштаб встановлюємо як середнє геометричне темпів зростання ресурсів

Таким чином, загальне зростання ВВП з 1960 по 1995 р. в 2,82 рази сталося за рахунок зростання масштабу виробництва в 2,207 рази і за рахунок підвищенні ефективності виробництва в 1,278 рази (2,82 = 1,273 * 2,207).

Висновок

Вище досить детально була вивчена мультипликативная ПФ F(K, L). Зокрема, було з'ясоване економічне значення її параметрів, показано, що при 0 < а1 < 1, i=1, 2... ця функція - неокласична, побудовані изокванти і изоклинали цієї функції, знайдені норми заміни ресурсів.. Розглянуті і інші виробничі функції.

Література

В. А. Колемаєв «Математична економіка»

Г. М. Зуєв Ж. В. Самохвалова «Економіко-математичні методи і моделі. Міжгалузевий аналіз»