Реферати

Реферат: Фільтрація газів (баротермический ефект)

Специфіка інтерпретації кримінально-правових норм. Поняття і сутнісні риси процесу тлумачення кримінально-правових норм. Мовний, системний і історико-політичний способи тлумачення карного закону. Види тлумачення карного закону по суб'єкті. Результати й акти тлумачення норм карного права.

Технологія й організація в міському будівництві і господарстві. Характеристика площадки, виділеної під будівництво. Переміщення й укладання ґрунту, попереднє визначення обсягу котловану. Технологічна карта на комплекс робіт із планування площадки, пристрою котловану і зведенню фундаментів будинку.

Становлення великого бізнесу в Росії. Дослідження основних проблем сучасного російського великого бізнесу, специфіки великого підприємництва. Порівняльний аналіз підприємств "Поле" і "Омський бекон". Характеристика діяльності промислових гігантів на прикладі омських підприємств.

Автоматика, телемеханіка і зв'язок. Сполучні лінії між центральними телефонними станціями. Припустимі норми загасання, максимальна довжина кожної ділянки при безпосереднім телефонуванні. Відстань кабельної лінії. Робота апарата при прийомі виклику, передачі і прийомі мови.

Сноубординг. Спорт молодих. Дивно, що наприкінці XX сторіччя, до відмовлення напханого технічними "наворотами", авангардний спорт потягнуло на простоту. Сама що ні є примітивна дошка перетворилася в базисний агрегат більшості новомодних розваг.

міністерство загального і професійного освіти російської федерації

стерлитамакский державний педагогічний

інститут

Кафедра теоретичної фізики

МАРІО1980mail.ru

Дослідження впливу стисливості

на величину баротермического ефекту при фільтрації газу

Дипломна робота

Науковий керівник:

д. т. н., проф. Пилипа А. І.

ст. пр. Миколайчук Н. П.

Стерлітамак 2002

зміст

введення... 4

розділ 1. постановка задачі про температурне поле в нафтогазовому пласті... 8

1.1. Рівняння стану реального газу... 8

1.2. Основні рівняння, що описують процес фільтрації газу в пористому середовищі...11

1.3. Опис задачі... 13

1.4. Математична постановка задачі... 14

1.4.1. Математична постановка температурної задачі... 14

1.4.2. Математична постановка гидродинамической задачі 15

1.5. Основні ідеї методу характеристик...15

1.6. Висновки...22

Розділ 2. Аналітичне рішення задачі про баротерми-ческом ефект для реальних рівнянь стану... 23

2.1. Рішення гидродинамической задачі... 23

2.2. Рішення температурної задачі... 25

2.3. Висновки... 27

Розділ 3. Отримання Аналітичних виразів рішення задачі про баротермическом ефект з урахуванням барической стисливості... 27

3.1. Рішення гидродинамической задачі для линеаризованного рівняння стану... 27

3.2. Температурна задача в линеаризованном випадку. .. 28

3.3. Висновки... 30

Розділ 4. аналіз результатів розрахунків і Дослідження температурних полів, виникаючих при фільтрації газу 30

4.1. Аналіз результатів розрахунків температурних полів... 31

4.2. Вивчення внеску стисливості у величину баротермического ефекту 38

4.3. Висновки... 40

висновок... 41

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ... 42

ДОДАТКИ... 43

введення

Актуальність теми дослідження. Однією з найбільш актуальних проблем сучасної геофизики є розробка теорії температурних і гидродинамических полів при фільтрації газу. Вони описуються нелінійними диференціальними рівняннями, відшукання рішень яких представляє значні труднощі. Особливу значущість подібні задачі придбавають в зв'язку з різними технологічними додатками. Наприклад, останнім часом зріс інтерес до термічних досліджень газових пластів, як до одного з способів підвищення ефективності газодобичи. На основі аналізу температурних кривих виявляються інтервали приток, заколонних перетоков, інтервалів відкладення газових гидратов і т. д.

Для рішення практичних задач необхідно знати залежність температури від відстані; температури від часу при різних параметрах пластів.

Мета роботи: Метою даної роботи є розробка теорії баротермического ефекту при фільтрації газу в прискважинной зоні газових пластів і вивчення внеску різних фізичних процесів.

Задачами исследованияявляются

- розробка математичної моделі термодинамічних ефектів в прискважинной зоні газових пластів;

- постановка задачі про баротермическом ефект в прискважинной зоні, побудова аналітичного рішення;

- проведення розрахунків і аналіз внеску різних фізичних процесів в температурне поле в прискважинной зоні;

- вивчення впливу стисливості на величину баротермического ефекту.

Наукова новизна: Уперше отримане аналітичне рішення нелінійної задачі про баротермическом ефект з урахуванням барической стисливості, досліджені просторово-часові розподіли температурних полів при фільтрації газу в пористому середовищі; отримані графіки залежності температури від різних параметрів і вивчений внесок стисливості.

Практична ценностьзаключается в можливості використання результатів досліджень в фізиці пористих серед, в газодобивающей промисловості.

- отримана аналітична залежність дозволяє зробити оцінку ефективності фільтрації газу в конкретних умовах і вибирати оптимальний режим.

- отримані результати можна використати для термічного контролю за процесом фільтрації газу в пористому середовищі;

- результати роботи дозволяють оцінювати ефективність фільтрації газу і з урахуванням отриманих результатів коректувати подальшу технологію впливу.

Коротка характеристика змісту роботи: Дипломна робота складається з введення, трьох розділів і висновку.

У введенні обгрунтована актуальність теми дипломної роботи, поставлені задачі дослідження і приводяться короткі відомості по роботі.

У першому розділі представлені основні рівняння, що описують процес фільтрації газу в пористому пласті. Сформульована фізична і математична постановки температурної і гидродинамической задач.

У другому розділі знайдене рішення гидродинамической задачі методом розділення змінних, методом характеристик побудоване рішення температурної задачі і здійснений аналіз отриманого аналітичного рішення на окремих випадках.

У третьому розділі здійснені чисельні розрахунки теплових полів за допомогою програмного пакету Mathcad. Описаний аналіз внеску різних фізичних процесів.

У ув'язненні підводяться підсумки проведеного дослідження.

При виконанні роботи надали велику допомогу д. т. н., проф. Пилипа А. І., ст. пр. Миколайчук Н. П., ст. лаб. Скворцова О. В. В зв'язку з цим, хочу висловити їм велику вдячність за надану допомогу у виконанні дипломної роботи, вказівку шляхів вирішення виникаючих труднощів, ради по раціональній організації труда.

СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ

- коефіцієнт температуропроводности,;

- температура,;

- тиск,;

- швидкість фільтрації,;

- швидкість конвективного перенесення тепла,;

Π=з ρ/cpl;

m - пористість;

- відносна в'язкість газу,

- проникність,;

- коефіцієнт стисливості,;

- коефіцієнт теплопровідності,;

- радіус контура живлення,;

- радіус свердловини,;

- густина газу,;

- коефіцієнт Джоуля - Томсона,;

- питома теплоємність газу що насичує пористу середу,;

- адіабатичний коефіцієнт,;

- час,;

розділ 1. постановка задачі про температурне поле в нафтогазовому пласті

1.1. Рівняння стану реального газу

Модель ідеального газу добре описує властивості газоподібного стану речовини при середніх і високих температурах (від кімнатної і вище) і невеликому тиску (біля атмосферного). Розрахунок властивостей газів в широкому інтервалі експериментальних умов вимагає використання рівняння стану реального газу[1].

Реальним газомназивается газ, між молекулами якого існують помітні сили міжмолекулярної взаємодії. Воно має електромагнітну і квантову природу і здійснюється за допомогою сил міжмолекулярного тяжіння і відштовхування.

Сили тяжіння, що виявляються на відстанях r між центрами молекул порядку 10-7см, називаютсяван-дер-ваальсовими силами. Вони убувають з відстанню ~ r-7, що відповідає зміні потенційної енергії згідно із законом r-6.

Розрізнюють три вигляду ван-дер-ваальсових сил [7]:

Ориентационние силимежду двома молекулами, що володіють постійними дипольними моментами. Вони прагнуть розташувати молекули впорядковано так, щоб вектори дипольних моментів орієнтувалися вдовж однієї прямої. Цьому перешкоджає тепловий рух молекул.

Індукційні сили, виникаючі між молекулами, що володіють високої поляризуемостью. Якщо молекули досить зближені, то під дією електричного поля однієї з них в інший виникає індукований дипольний момент.

Дисперсійні силивозникают внаслідок збудження коливань електронів в молекулі (атомі) під впливом коливань електронів в іншій молекулі (атомі). Коливання електронів сусідніх молекул відбуваються в однаковій фазі і приводять до тяжіння двох молекул (атомів). Величина дисперсійних сил визначається нульовою енергією молекул (атомів), якщо їх коливання можна розглядати як коливання лінійних гармонічних осцилляторов.

Повна потенційна енергія ван-дер-ваальсових сил описується сумою:

U = U ор + U инд + U дисп.

(I.1.1)

Для полярних молекул основну роль грають ориентационние сили тяжіння, для інших молекул - дисперсійні сили. Енергія ван-дер-ваальсового тяжіння складає (0,1 - 1) ккал/моль [7]. У більшості випадків ван-дер-ваальсови сили тяжіння перекривається значно перевершуючими їх хімічними валентними силами тяжіння з енергіями порядку (10 - 100) ккал/моль.

Згідно з спрощеною моделлю ван-дер-ваальсових сил, молекули газу - абсолютно пружні кулі - притягуються з силами, що досягають найбільшого значення при безпосередньому їх зіткненні. Сили відштовхування виявляють себе на значно менших відстанях.

Для опису властивостей реальних газів застосовують різні рівняння стану, відмінні від рівняння Клапейрона-Менделеева. Найбільш зручні двухпараметрические рівняння, вирішувані відносно тиску і вмісні об'єм в третій мірі (кубічні рівняння стану). Перше таке рівняння було запропоноване Ван-дер-Ваальсом в 1873 р.

Рівняння Ван-дер-Ваальсасостояния реального газу має наступний вигляд [7]:,

(I.1.2)

де V0- об'єм 1 благаючи газу, а - внутрішній тиск, зумовлений силами тяжіння між молекулами, b - поправка засобственний объеммолекул, що враховує дію сил відштовхування між молекулами і рівна збільшеному учетверо об'єму молекул в 1 молі газу:,

(I.1.3).

(I.1.4)

Тут NA- число Авогадро, d - діаметр молекули, U(r) - потенційна енергія тяжіння двох молекул.

Рівняння стану Бертло (1900 р.):.

(I.1.5)

Тут а і b пов'язані з параметрами критичного стану (в критичній точці) співвідношеннями [8]:.

(I.1.6)

Рівняння стану Вукаловича і Новікова[7]:.

(I.1.7)

Тут B1, B2и т. д. - так називаемиевириальние коеффициентивесьма складного вигляду. Їх обчислення проводиться з урахуванням асоціації молекул - об'єднання під впливом ван-дер-ваальсових сил тяжіння.

Рівняння стану Майера[7]:,

(I.1.8)

де: dti=dqi1*.. dqin..

Тут Uпij- взаємна потенційна енергія i-й і j-й молекул, взаємодіючі згідно із законом центральних сил, qi1,...,qin- узагальнені координати i-тієї молекули, що володіє n мірами свободи.

Рівняння Камерлинг-Оннеса (1901)[8]:

(I.1.9)

де,.

Рівняння Редлиха-Квонга (1949 р.)[8]:

(I.1.10)

Тут 0,42748·R2·T2,5 k/Pk, b = 0,08664·R·Tk/Pk. Рівняння Редлиха-Квонга вважається найкращим двухконстантним рівнянням. При його висновку автори не керувалися якимись певними теоретичними обгрунтуваннями [8]. Це рівняння потрібно розглядати як довільну, але вдалу емпіричну модифікацію попередніх рівнянь стану.

Рівняння Мартіна (1967 р.)[8]:,

(I.1.11)

де 27·R2·T2k/(64Pk), b = R·Tk/(8Pk).

1.2. Основні рівняння, що описують процес фільтрації газу в пористому середовищі

Останнім часом спостерігається зростання інтересу до різних термодинамічних ефектів в пористих середовищах. Це пов'язано з їх багатоманітними практичними додатками[4,5].

Особливу важливість згадані проблеми мають в фізиці нефтегазоносних пластів. Поля тиску в нефтегазоносних пластах в умовах розробки, як правило, нестационарни. Дросселирование нафти і газу приводить до вияву баротермического ефекту - зміні температури при течії нафти або газу в пористому середовищі в нестаціонарному полі тиску. Величина барометричного ефекту на відміну від ефекту Джоуля - Томсона, що спостерігається при стаціонарному дросселированії, залежить від коллекторских властивостей пористої середи, часу, геометрії течії і інших чинників. Ці особливості баротермического ефекту забезпечують можливість його практичного застосування при дослідженні свердловин і пластів.

У основу досліджень встановлена повна система рівнянь для - тієї фази (компонента), описуючих баротермический ефект. Ядром цієї системи являетсяуравнение для температурис обліком термодинамічних ефектів високого порядку [9]

(I.2.1)

де перший доданок в лівій частині рівняння (I.2.1) описує зміну температури в пласті згодом, другу - за рахунок конвекції (переміщення великих об'ємів газу). Перший доданок в правій частині відповідальний за теплопровідність, друге - за міжфракційний теплообмін, третє описує адіабатичний ефект, четверте - ефект Джоуля-Томсона і п'яте - вплив поля тяжіння Землі.

Другим рівнянням системи являетсяуравнение нерозривності, яке записується у вигляді:.

(I.2.2)

Фільтрація газу подчиняетсязакону Дарси.

(I.2.3)

До системи добавляетсяуравнение стану.

(I.2.4)

Система (I.2.1)-(I.2.4) є нелінійною, крім того, рівняння (I.2.1)-(I.2.2) є взаємопов'язаними.

1.3. Опис задачі

Розглянемо температурну задачу в полярній системі координат, де середа представлена однією нескінченною областю (мал. 1). Область є пористою і насичена газом. Будемо розглядати випадок радіального руху газу з нескінченності до свердловини радіуса, вісь якої співпадає з віссю

Рис. 1. постановка задачі

При описі температурної задачі приймемо наступні допущення:

- пористий пласт вважається однорідним і изотропним по гидродинамическим і теплофизическим властивостях;

- тиск в свердловині і на контурі живлення залишається незмінним;

- породи, навколишні пласт передбачаються непроникними і однорідними по своїх теплофизическим властивостях;

- температури газу і скелета пористої середи в кожній точці співпадають;

- природне теплове поле Землі вважається стаціонарним;

- пласт розташований на глибині порядку 1 - 2 км, тому добові і сезонні коливання температури не досягають пласта;

- адіабатичним ефектом, зумовленим гравітаційним полем нехтуємо.

1.4. Математична постановка задачі

Математична постановка задачі включає температурну задачу, гидродинамическую задачу, рівняння стану і співвідношення для поля швидкості конвективного перенесення тепла. Нижче розглядаються відповідні постановки задач.

1.4.1. Математична постановка температурної задачі

Математична постановка задачі для всіх областей представляється рівнянням (I.2.1). Температурне поле в цьому випадку описується рівнянням Чекалюка в зневазі теплопровідністю і адіабатичним ефектом і з урахуванням закону фільтрації Дарси:.

(I.4.1.1)

Будемо розглядати задачу при наступних умовах температури:

початковому,

(I.4.1.2)

і граничному.

(I.4.1.3)

1.4.2. Математична постановка гидродинамической задачі

Математична постановка гидродинамической задачі в полярній системі координат прийме наступний вигляд. Враховуючи, що для осесимметричного течії поле тиску є функцією координати r рівняння можна представити у вигляді:,

(1.4.2.1)

Будемо розглядати задачу при наступних умовах. Нехай PC- тиск на межі контура живлення. При значенні радіуса, рівному радіусу контура живлення,

(1.4.2.2)

тиск підтримується рівним Рс:,

(1.4.2.3)

Рс - тиск на контурі живлення.

При значенні радіуса, рівному радіусу свердловини,

(1.4.1.3)

тиск підтримується рівним PW:,

(1.4.1.4)

де PW- тиск в свердловині.

1.4. Основні ідеї методу характеристик[6]

В даному розділі розглянемо метод характеристик. Будь-яке лінійне диференціальне рівняння другого порядку (при двох незалежних змінних) може бути записане в наступному вигляді:

(1.4.1)

гдеа, b, з, d, е, f, g-задані безперервні функції отхиу(або в окремому випадку, постійні).

Спробуємо спростити це рівняння за допомогою заміни незалежних змінних:

(1.4.2)

Здесьxіh- нові незалежні змінні. Функциїjіy, зв'язуючі нові змінні зі старими, будуть підібрані пізніше; поки ж ми будемо вважати їх такими, що диференціюються потрібне число разів. Крім того, будемо вважати, що система рівнянь (1.4.2) може бути однозначно дозволена относительнохиу; це треба розуміти таким чином: якщо функцииjиyи відображають деяку областьGплоскостиОхув областьG* плоскостиOxh, то при цьому кожній точці (х, h) областиG* соответствуеттолько однаточка областиG(інакше говорячи, відображення областиGнаG*, що дається функциямиjиy, являетсявзаимно однозначним). Як відомо, для цього досить, щоб якобиан перетворення (т. е. визначник ) ніде в областиGне звертався в нуль.

Для того щоб зробити необхідну заміну змінних, виразимо приватні похідні від функції uпо х і учерез похідні отипоxиh:

(1.4.3 1 )

(1.4.3 2 )

Це записане на основі правила диференціювання складної функції від двох змінних (здесьuзависит отxиh, які, в свою чергу, залежать отхиу). Для того щоб виразити, через похідні поxиh, врахуємо формулу (1.4.31) і застосуємо знов правило диференціювання складної функції:

Отже,

(1.4.4 1 )

Аналогічно знайдемо:

(1.4.4 2 )

(1.4.4 3 )

Праві частини рівності (1.4.31), (1.4.32), (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43) являють собою лінійні функції відносно приватних похідних, Подставляяu'x, u'y, u'xx,... з цих формул в рівняння (1), ми отримаємо сновалинейное рівняння другого порядкас невідомої функциейії незалежними переменнимиxиh:

(1.4.5)

де

(1.4.5')

а-функція, лінійна относительнои'х, u'h, u.

Рівняння (1.4.5) стає особливо простим, якщо в ньому коеффициентиаисокажутся рівними нулю. Для того щоб спочатку задане рівняння (1.4.1) можна було привести до такого простого вигляду, треба в ньому зробити заміну змінних

підібравши функцииjиyтак, щоб вони були рішеннями рівняння:

(1.4.6)

Це рівняння є нелінійним рівнянням в приватних похідних першого порядку. Наступна теорема покаже, як пов'язані його рішення із загальним рішенням деякого звичайного рівняння.

Теорема. Для того щоб функцияz=f(х, у) у всіх точках областиGудовлетворяла рівнянню (6), необхідно і досить, щоб, сімейство

(1.4.7)

було загальним інтегралом рівняння

(1.4.8)

в тієї ж областиG.

Доказ. Необхідність. Нехай z =f(х, у) - рішення рівняння (1.4.6). Розглянемо сімейство кривихf(х, у) доведемо, що будь-яка крива цього сімейства задовольняє рівнянню (1.4.7).

У будь-якій точці, лежачій на кривойf(х, у)=k(гдеk-фіксовано), виконується наступна рівність:

дійсно вдовж даної кривий функцияf(х, у) постійна, і тому її повний диференціал рівний нулю.

Отже, всюди на кривій має місце рівність:

визначимо кожне з цих відносин черезl; тоді

Підставляючи ці вирази дляdxиdyв ліву частину рівняння (1.4.8), отримаємо:

Вираження, що стоїть в квадратних дужках, дорівнює нулю, оскільки, по умові, функцияf(х, у) є рішення рівняння (1.4.6). Отже, у всіх точках нашої кривої має місце рівність

звідки витікає, що вона є інтегральною кривою рівняння (1.4.8).

Отже, будь-яка крива видаf(х, у) =kявляется інтегральної кривої рівняння (1.4.8); з іншого боку, через кожну точку області G проходить крива такого вигляду; це витікає з того, що функцияf(х, у) визначена всюди в області G і тому, наприклад, через точку (х0, у0) проходить криваяf(х, у)=f(x0, y0).

Звідси слідує, що семействоf(х, у) =kявляется загальним інтегралом рівняння (1.4.8).

Достатність. Нехай семействоf(х, у)=kбудет загальним інтегралом рівняння (1.4.8). Візьмемо довільну точку (х0, у0) изGи виділимо ту криву сімейства, яка проходить через цю точку:

f(х, у) =k0.

Так само, як і при доказі необхідності, переконуємося, що всюди вдовж цієї кривої виконується рівність

звідки

(1.4.10)

Оскільки крива є інтегральною кривою рівняння (1.4.8), те при підстановці в це уравнениеdxиdyиз (1.4.10), отримаємо тотожність:

або, після скорочення наl2:

Зокрема, в точці (х0, у0) має місце:

Але остання рівність означає, що функція двох переменнихf(х, у) задовольняє в точці (х0, у0) рівнянню (1.4.7). Оскільки точка (х0, y0) була взята довільно в областиG, то функцияf(х, у) задовольняє рівнянню (1.4.7) вовсехточках цієї області, т. е. ця функція є одним з рішень рівняння (1.4.7).

Таким чином, теорема доведена.

Розглянута теорема відкриває шлях для спрощення початкового рівняння (1.4.1). Для цього спочатку складаємо допоміжне рівняння (1.4.8); воно називаетсяхарактеристическим уравнениемдля даного рівняння (1.4.1). Характеристичне рівняння естьобикновенноедифференциальное рівняння першого порядку, але другої міри. Дозволяючи його относительноу'х(заздалегідь розділивши всі члени рівняння наdx2), отримаємо два рівняння:

(1.4.10 1 )

(1.4.10 2 )

(передбачається, чтоас -b2 < 0, b2- ас > 0всюду в областиG). Нехай загальний інтеграл рівняння (1.4.101) має вигляд

j (х, у)= k,

(1.4.11 1 )

а загальний інтеграл рівняння (1.4.102)

у (х, у)= k.

(1.4.11 2 )

Інтегральні криві характеристичного рівняння (т. е. всі криві, вхідні в сімейства (1.4.111) і (1.4.112)) називаютсяхарактеристикамизаданного диференціального рівняння (1.4.1). У зв'язку з цим метод спрощення рівняння (, що розглядається 1.4.1) називаетсяметодом характеристик.

Сімейства (1.4.111) і (1.4.112) можна розглядати, як загальні інтеграли рівняння (1.4.8) (це рівняння розпадається на два рівняння (1.4.101) і (1.4.102)).

Отже, згідно з доведеною теоремою, функції

z=j(х, у) иz=у(х, у)

є рішеннями рівняння в приватних похідних (1.4.6).

Функциїj(х, у) иу(х, у) незалежні один від одного (можна довести, що їх якобиан відрізнений від нуля, еслиас < 0). Тому, повертаючись до рівняння (1.4.1), ми можемо в ньому зробити заміну змінних:

Оскільки функцииjиyудовлетворяют рівнянню (1.4.6), те внаслідок цієї заміни змінних виявиться і. Отже, рівняння (1.4.1) перетворюється до вигляду:

або, після ділення на2bи перенесення в іншу частину рівності:

де - функція, лінійна относительнои'х, u'h, u(див. вище, формула (1.4.5)).

Отримане рівняння має більш простий вигляд, ніж початкове рівняння (1.4.1); якщо ми його зможемо вирішити (т. е. найтиикак функцію отxиh), те для того, щоб знайти рішення початкового рівняння, досить повернутися до старих змінних (виразивxиhчерезхиу).

1.5. Висновки

У даному розділі представлені основні рівняння стану реального газу, рівняння, що описують процес фільтрації газу в пористому середовищі. Даний опис задачі. Сформульовані фізична і математична постановки температурної і гидродинамической задач. Описаний метод характеристик, який використаний для отримання рішення задачі в розділі 2.

Розділ 2. Аналітичне рішення задачі про баротермическом ефект з урахуванням реального рівняння стану

В даному розділі приведені аналітичні рішення гидродинамической і температурної задач для довільного рівняння стану.

2.1. Рішення гидродинамической задачі

Рішення рівняння (I.4.1.1) приводить до необхідності рішення додаткової гидродинамической задачі для відшукання поля тиску. Для опису руху газу скористаємося квазистационарним рівнянням нерозривності:.

(2.1.1)

Швидкість фільтрації газу крізь пористу середу визначається законом Дарси:.

(2.1.2)

Тут - проникність пористої середи, - в'язкість газу. Вважаючи, що і не міняються при русі газу до свердловини, і що густина газу залежить тільки від тиску (баротропное наближення), перепишемо рівняння нерозривності в наступному вигляді:

(2.1.3)

Функцію Лейбензона представимо у вигляді:,

(2.1.4)

де величини і А задаються граничними умовами. Підставляючи функцію Лейбензона в рівняння (2.1.3), отримаємо:.

(2.1.5)

Враховуючи, що для осесимметричного течії поле тиску є функцією координати, рівняння (2.1.5) можна представити у вигляді:

(2.1.6)

Рішення цього рівняння представимо у вигляді:,

(2.1.7)

де і - постійні інтегрування, визначувані граничними умовами. Нехай - тиск на межі контура живлення (при ), - тиск в свердловині (при ), тоді згідно (2.1.4) і (2.1.7)

(2.1.8)

(2.1.9)

Звідси знайдемо вираження для і:

(2.1.10)

(2.1.11)

Підставивши ці вирази в рівняння (2.1.7), отримаємо:

(2.1.12)

Вираження (2.1.12) представляє неявну залежність давленияРот координатиr, якщо відома залежність густини від тиску. Очевидно, що при розгляді баротермического ефекту в пластах газ не можна розглядати як ідеальний, оскільки коефіцієнт Джоуля-Томсона для ідеального газу рівний нулю. Тому надалі густина газу будемо представляти у вигляді якого-небудь рівняння для реального газу (наприклад, рівняння Ван-дер-Ваальса).

Використовуючи (2.1.12), отримаємо вираження для градієнта тиску у вигляді:

(2.1.13)

Знайдене вираження для градієнта тиску дозволяє перетворити температурну задачу до вигляду зручного для аналітичного рішення. Рішення температурної задачі розглядається в наступному параграфі.

2.2. Рішення температурної задачі

З обліком (2.1.13) і закону фільтрації Дарси (2.1.2) задача (I.4.1.1) - (I.4.1.3) перетворюється до вигляду:

(2.2.1)

Умови (I.4.1.1) - (I.4.1.3) залишаються незмінними. Вводячи позначення

(2.2.2)

представимо рівняння Чекалюка у вигляді:

(2.2.3)

Будемо розглядати задачу при наступних умовах для температури:

початковому

(2.2.4)

і граничному

(2.2.5)

Рішення рівняння (2.2.3) методом характеристик дає залежність координати від часу: .

(2.2.6)

Характеристика, що задовольняє умові:

(2.2.7)

визначає область застосовності нестаціонарного рішення

(2.2.8)

Рівняння (2.2.3) з обліком (2.2.6) можна представити у вигляді:

(2.2.9)

звідки

(2.2.10)

де

(2.2.11)

Виключивши константу З з (2.2.10) і (2.2.11), остаточно отримується нестаціонарне рішення:.

(2.2.12)

Межі застосовності цього рішення обмежені областю (2.2.8). Отже, час, що розглядається повинно задовольняти умові:. Для моментів часу значення більше, ніж, що відповідає зоні, по якій хвиля температури вже пройшла і де розподіл температури вже встановилося, тобто. Для цієї області

(2.2.13)

і стаціонарне рішення, що задовольняє умові (2.2.5), має вигляд:

(2.2.14)

Вираження (2.2.12) і (2.2.14) повністю вирішують поставлену задачу для будь-якого рівняння стану

2.3. Висновки

У даному розділі представлене аналітичне рішення задачі про баротермическом ефект з урахуванням реального рівняння стану, яка включає в себе температурну і гидродинамическую задачі.

Розділ 3. Отримання Аналітичних виразів рішення задачі про баротермическом ефект з урахуванням барической стисливості

3.1. Рішення гидродинамической задачі для линеаризованного рівняння стану

Випишемо отримані рішення для линеаризованного баротропного рівняння стану

(3.1.1)

Обчисливши інтеграл, вхідний в (2.2.3):

(3.1.2)

Представимо залежність між тиском і радіальною координатою r у вигляді:

(3.1.3)

Введемо позначення

(3.1.4)

Тоді рівняння (3.1.3) перетворюється до вигляду:

(3.1.5)

Звідки знайдемо

(3.1.6)

Фізичне значення має тільки значення отриманого вираження зі знаком плюс перед квадратним коренем. Введемо позначення

(3.1.7)

(3.1.8)

які дозволяють представити подкоренное вираження у вигляді і спростити запис вираження (3.1.6)

(3.1.9)

Підставивши (3.1.9) в (3.1.1), отримаємо залежність густини від радіальної координати r:

(3.1.10)

Отримані в даному розділі вирази дозволяють побудувати рішення задачі про баротермическом ефект у разі линеаризованного рівняння стану.

3.2. Температурна задача в линеаризованном випадку

В цьому випадку нестаціонарне рішення для температури (3.1.5) записується у вигляді:

(3.2.1)

Інтеграл в (3.2.1) легко обчислюється; остаточно нестаціонарне рішення представляється у вигляді

(3.2.2)

Вирази для G і Н представляються формулами (3.2.5) і (3.2.6), а - для V представляється у вигляді, наступному з (2.2.8)

(3.2.3)

У межі при α→0 з (3.2.2)-(3.2.3) слідує відоме рішення для нестискуваної рідини[4]:

(3.2.4)

Аналогічно в стаціонарному випадку з (2.2.14) отримаємо:

(3.2.5)

У межі при α→0 з (3.2.5) і (3.2.3) слідує відоме рішення для нестискуваної рідини[4]:

(3.2.6)

Вираження (3.2.2), (3.2.4) вирішують поставлену задачу про баротермическом ефект при фільтрації газу в прискважинной зоні реальних газових пластів. Таке рішення поставленої задачі отримане уперше. Тому представляє значний і практичний інтерес аналіз результатів розрахунків на основі отриманих рішень, що і приведено в четвертому розділі.

3.3. Висновки

У даному розділі отримане аналітичне рішення задачі про баротермическом ефект з урахуванням барической стисливості, яка включає в себе рішення гидродинамической задачі для линеаризованного рівняння стану і температурну задачу в линеаризованном випадку.

Розділ 4. аналіз результатів розрахунків і Дослідження температурних полів, виникаючих при фільтрації газу

В даному розділі приведений аналіз результатів розрахунків баротермического ефекту в прискважинной зоні газових пластів застосовно до реальних родовищ газу.

4.1. Аналіз результатів розрахунків температурних полів

На мал. 1. приведені результати розрахунків величини баротермического ефекту від часу при різній барических стисливості. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; r=0.1; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

З малюнка видно, що зміна температури підкоряється наступним закономірностям. Лінійне наростання температурного ефекту при малих часах зміняється логарифмічною стабілізацією - при великих часах. Час, при якому відбувається зміна лінійного наростання на логарифмічну стабілізацію, залежить від барической стисливості; із збільшенням стисливості цей час меншає.

Величина температурного ефекту також сильно залежить від стисливості. З збільшенням стисливості величина температурного ефекту зростає. Коефіцієнт барической стисливості приблизно зворотно пропорційний тиску. Реальні значення цього коефіцієнта в умовах газових пластів лежать в межах від 3 10-1до 10-5; тому величина ефекту лежить в межах до -10 ¸ -15 ДО.. Це добре узгодиться з величиною температурних ефектів, що вимірюються в скважинних умовах.

Ріс.1. Залежність величини баротермического ефекту від часу при різній барических стисливості. Позначення: 1 - а = 3 10 -4 Па -1, 2 - 10 -5, 3 - 10 -6, 4 - 10 -7, 5 - 5 10 -8

Важливо відмітити, що згідно з розробленою нами теорією час встановлення температурного ефекту при а ~ 10-8Па -1, що часто зустрічається на практиці, складає біля діб. Цей факт надзвичайно важливий при практичному використанні баротермического ефекту.

На мал. 2 показана залежність баротермического ефекту від часу при різній відносній в'язкості. З малюнка видно, що величина температурного ефекту зростає згодом тим більше, ніж менше відносна в'язкість. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; r=0.1; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

Рис 2. Залежність нестаціонарної температури від часу при різній відносній в'язкості. Позначення: 1- µ = 10 -5; 2 - 2∙10 -5; 3 - 3∙10 -5; 4 - 4∙10 -5

На мал. 3. показана залежність баротермического ефекту від часу при різній відносній проникності. З малюнка видно, що величина температурного ефекту зростає згодом тим більше, ніж більше відносна проникність. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; r=0.1; з=850; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; α= 10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

Рис 3. Залежність нестаціонарної температури від часу при різній відносній проникності. Позначення:1- k = 10 -15 м 2; 2 -2∙10 -15; 3 - 3∙10 -15; 4 -4∙10 -15

На мал. 4 показана залежність баротермического ефекту від часу на різних відстанях від осі свердловини. З малюнка видно, що величина температурного ефекту зростає згодом тим більше, ніж менше радіус свердловини. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

Рис 4. Залежність нестаціонарної температури від часу при різних радіусах свердловини. Позначення: 1- r =0.1 м; 2 -0.2; 3 - 0.3; 4 -0.5.

На мал. 5. показана залежність баротермического ефекту від радіуса свердловини при різних часах. З малюнка видно, що величина температурного ефекту убуває згодом. Чим менше радіус свердловини, тим більше величина температурного ефекту, при збільшенні радіуса свердловини температурний ефект меншає і стабілізується. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

Рис 5. Залежність нестаціонарної температури від радіуса свердловини при різних часах. Позначення: 1- t =10 000 з; 2 -100 000; 3 - 1 000 000.

На мал. 6. показана залежність баротермического ефекту від часу при різних радіусах контура живлення. З малюнка видно, що величина температурного ефекту убуває при збільшенні радіуса контура живлення. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; rW=0.1; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

На мал. 7. показана залежність баротермического ефекту від теплоємності при різних часах. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; rW=0.1; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

З малюнка видно, що величина температурного ефекту зростає при збільшенні теплоємності.

Рис 6. Залежність нестаціонарної температури від часу при різних радіусах контура живлення. Позначення: 1- R =25 м; 2 - 50; 3 - 100; 4 - 200; 5 - 250.

Рис 7. Залежність нестаціонарної температури від теплоємності при різних часах. Позначення: 1- t =100 000 з; 2 -1 000 000; 3 - 10 000 000.

На мал. 8. показана залежність баротермического ефекту від відносної в'язкості при різних часах. З малюнка видно, що величина температурного ефекту зростає при зменшенні відносної в'язкості. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; rW=0.1; з=850; k=10-15; сPL=84000000; R=100; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

Рис 8. Залежність нестаціонарної температури від відносної в'язкості при різних часах. Позначення: 1- t =100 000 з; 2 -1 000 000; 3 - 1 500 000.

На мал. 9. показана залежність баротермического ефекту від часу при різних коефіцієнтах барической стисливості. З малюнка видно,

Рис 9. Залежність нестаціонарної температури від часу при різних коефіцієнтах барической стисливості. Позначення: 1- α =0,0003 Па -1; 2 -0,00001; 3 -0,000001; 4 -0,0000001;5 - 0,0000005.

що при зменшенні барической стисливості величина температурного ефекту меншає. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; rW=0.1; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

4.2. Вивчення внеску стисливості у величину баротермического ефекту

На мал. 10 показана залежність баротермического ефекту від коефіцієнта барической стисливості при різних часах для малого діапазону температур. З малюнка видно, що при малих часах залежність близька до лінійної. При великих часах спостерігається невеликий спад температури. У розрахунках прийнято:ε=-0.5∙10-5; rW=0.1; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; α=10-7; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

Рис. 10. Залежність нестаціонарної температури від коефіцієнта барической стисливості при різних часах. Позначення: 1- t = 100 з; 2 -1000; 3 - 10 000; 4 -100 000.

На мал. 11. показана залежність стаціонарної температури від коефіцієнта барической стисливості. З малюнка видно що величина температурного ефекту в стаціонарному випадку не залежить від коефіцієнта барической стисливості. У розрахунках прийнято: ε=-0.5∙10-5; rW=0.1; з=850; k=10-15; сPL=84000000; µ=10-5; R=100; ρ=150; Р=100∙105; P0=150∙105; PC=200∙105; PW=150∙105.

Рис. 11 Залежність стаціонарної температури від коефіцієнта барической стисливості.

На мал. 12. приведена залежність часу встановлення температури від коефіцієнта барической стисливості.

Рис 12. Залежність часу встановлення температури від коефіцієнта барической стисливості.

Отже, вивчення внеску стисливості у величину баротермического ефекту показує, що в нестаціонарних полях величина температурного ефекту сильно залежить від стисливості, а після встановлення температури не залежить від стисливості.

4. 3. Висновки

В даному розділі зроблений аналіз результатів розрахунків і досліджені температурні поля, виникаючих при фільтрації газу. Показано, що величина температурного ефекту складає біля 20 К. Время встановлення температурного ефекту сильно залежить від проникності і для реальних значень проникності складає приблизно доби. Це важливо враховувати при интерпритації результатів термічних досліджень свердловин.

Вивчений внесок стисливості у величину баротермического ефекту. Показано, що в нестаціонарних полях величина температурного ефекту сильно залежить від стисливості, а після встановлення температури не залежить від стисливості.

Показано, що час встановлення баротермического ефекту залежить від барической стисливості і лежить в межах до 109с при α~10-8Па -1. При α~10-8Па повних встановлення становить (приблизно) три роки. Значить температурні поля в газовому пласті практично завжди нестационарни.

Висновок

У ході проробленої роботи були отримані наступні результати:

1. Описані основні рівняння стану реального газу, рівняння, що описують процес фільтрації газу в пористому середовищі.

2. Представлене аналітичне рішення задачі про баротермическом ефект з урахуванням реального рівняння стану.

3. Отримане аналітичне рішення задачі про баротермическом ефект з урахуванням барической стисливості.

4. Зроблений аналіз результатів розрахунків і дослідження температурних полів, виникаючих при фільтрації газу.

5. Досліджені температурні поля і вивчений внесок стисливості у величину баротермического ефекту. Показано, що в нестаціонарних полях величина температурного ефекту сильно залежить від стисливості, а після встановлення температури не залежить від стисливості.

6. При α~10-8Па повних встановлення температури становить (приблизно) три роки. Це означає, що температурні поля в газовому пласті практично завжди нестаціонарні. Потрібно відмітити при цьому що логарифмічна стабілізація досягається при часі біля діб.

Список використаної літератури

1. Ландау Л. Д., Лівшиц Е. М. Статістічеська фізика// М., 1964.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердих тіл// М: Наука. 1964. 487с.

3. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим властивостях газів і рідин// М., Наука. 1972.

4. Пилипа А. І., Фрідман А. А., Девяткин Е. М. Баротермічеський ефект при фільтрації газованої рідини: Монографія. - Стерлітамак: Стерлітамак. гос. пед. ин-т; Стерлитамакский філія Академії наук Республіки Башкортостан, 2000. - 175с.

5. Пилипа А. І. Скважінная термометрия перехідних процесів. - Саратов: Изд-у Сарат. ун-та, 1989. - 116с.

6. Очан Ю. С. Методи математичної фізики// М: Вища школа. 1965. 383с.

7. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по фізиці. - М.: Наука, 1971. - 940с.

8. Морачевский А. Г., Сладков И. Б. Фізіко - хімічні властивості молекулярних неорганічних з'єднань. - С. Пб.: Хімія, 1996. - 312с.

9. Баскаков А. П., Гуревич М. И., Решетін Н. И. і інш. Загальна теплотехніка. - М.-Л.: Державне енергетичне видавництво, 1963. - 392с.