Реферати

Реферат: Вимір випадкових процесів

Види забезпечення по страхуванню і розмір щомісячної страхової виплати. Забезпечення по страхуванню від виробничого травматизму як відшкодування шкоди, що заподіяний життю і здоров'ю, застрахованого в результаті страхового випадку, його типи і напрямки. Порядок розрахунку і нарахування щомісячної страхової виплати.

Проектування мережі беспроводного широкополосного доступу. Порівняння систем радиодоступа й обґрунтування вибору для проектованої мережі. Опис і технічні характеристики апаратури WiMAX. ASN шлюзи, базова станція BreezeMAX 4Motion, антенні системи й абонентське устаткування. Структура мережі mobile WiMAX.

Основи статистики. Відносна величина виконання плану по магазині й абсолютна зміна роздрібного товарообігу. Побудова интервального ряду й обчислення середнього вироблення всіх продавців. Середні товарні залишки, індекс цін і фізичного обсягу товарообігу.

Диуретики при серцевій недостатності. Особливості і прийоми при лікуванні гострої серцевої недостатності, критерії й обґрунтування схеми процедур. Дозування і способи введення диуретиков при лікуванні даної групи захворювань. Причини розвитку стійкості до цих лікарських засобів.

Політичний лідер сучасності В. В. Путин. Біографія і політична кар'єра В. В. Путина: походження, утворення, родина. Психологічний тип - прагматично мислячий інтроверт, сильні і слабкі сторони. Внутрішня і зовнішня політика глави держави; відношення до релігії; нагороди і звання.

Реферат на тему : Вимір випадкових процесів.

Зміст

1. Загальні зведення про виміри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 3.

2. Виміру математичного чекання і дисперсії випадкового процесу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 9.

3. Вимір функцій розподілу імовірності. . . . стр 11.

4. Виміру кореляційної функції. . . . . . . . . . . . . . стр 13.

5. Аналіз спектра потужності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 14.

6. Додатка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 16.

7. Список літератури. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 17.

ВИМІРУ ВЕРОЯТНОСТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

1. ЗАГАЛЬНІ ЗВЕДЕННЯ

Виміру вероятностних характеристик випадкових процесів (статистичні виміри) складають один з найбільше що швидко розвиваються розділів вимірювальної техніки. В даний час область поширення статистичних методів дослідження й обробки сигналів вимірювальної інформації практично безмежна. Зв'язок, навігація, керування, діагностика (технічна, медична), дослідження середовища і багато інших областей немислимі без знання і використання властивостей сигналів і перешкод, описуваних їх вероятностними характеристиками.

Потреба у вивченні властивостей випадкових процесів привела до розвитку відповідних методів і засобів (переважно електричних). Поява аналізаторів функцій розподілу імовірностей, коррелометров, вимірників математичного чекання, дисперсиометров і інших видів вимірників вероятностних характеристик відкрило нові можливості в області створення сучасної інформаційної і керуючої техніки.

Розглянемо необхідні вихідні визначення і загальні зведення про статистичні виміри.

У теорії статистичних вимірів використовують наступні поняття і їхні аналоги, запозичені з теорії випадкових функцій (аналоги з математичної статистики): реалізація випадкового процесу (вибіркова функція), миттєве значення (вибіркове значення), сукупність миттєвих значень (вибірка), вероятностная характеристика (межа вибіркового середніх).

Уведемо наступні позначення: Х (t) - випадковий процес;

i-порядковий номер реалізації випадкового процесах (t);

xi(tj)-миттєве значення процесах (t), що відповідає значенню (i-й реалізації вj-й момент часу. Випадковим називають процессх (t), миттєві значення которогохі(tj) суть випадкові величини.

На мал.1 представлена як приклад сукупність реалізації випадкового процесу, що відтворюють залежності деякого параметрахот времениt.

У теорії випадкових процесів їхній повний опис виробляється за допомогою систем вероятностних характеристик: багатомірних функцій розподілу імовірності, моментних функцій, характеристичних функцій і т.п. У теорії статистичних вимірів досліджуваний випадковий процес представляється своїми реалізаціями, причому повне представлення здійснюється за допомогою так називаного ансамблю, тобто нескінченною сукупністю реалізацій. Ансамбль - математична абстракція, модель розглянутого процесу, але конкретні реалізації, використовувані у вимірювальному експерименті, являють собою фізичні чи об'єкти явища і входять в ансамбль як його невід'ємна частина.

Якщо випадковий процес представлений ансамблем реализациихі(t),і=1, 2, ..., з, те вероятностная характеристика в може бути визначена усередненням по сукупності, тобто

N

q [X (t)]=lim 1/N S g[xi(t)],(1)

N(r) ¥i=1

гдеg[Xi(t)]- деяке перетворення, що лежить в основі визначення вероятностной характеристики q. Так, наприклад, при визначенні дисперсії g [Xi(t)]=xi(t). При цьому думаємо, що процес характеризується нульовим математичним чеканням.

Замість усереднення по сукупності може бути використане усереднення за часом з использованиемк-й реализациихк(t) і тоді

T

q [X(t)]= lim 1/T ò g[xi(t)]dt.(2)

T (r) ¥ 0

Наприклад, при визначенні математичного чекання

T

M [X (t)]= lim 1/T òxk(t)dt.(3)

T(r) ¥ 0

У загальному випадку результати усереднення по сукупності (1) і за часом (2) неоднакові. Межа вибіркового середніх по сукупності (1) являє собою вероятностную характеристику, що виражає залежність вероятностних властивостей процесу від поточного часу. Межа вибіркового середніх за часом (2) являє собою вероятностную характеристику, що виражає залежність вероятностних властивостей процесу від номера реалізації.

Наявність і відсутність залежності вероятностних характеристик від чи часу від номера реалізації визначає такі фундаментальні властивості процесу, як стаціонарність і ергодичність. Стаціонарним, називається процес, вероятностние характеристики якого не залежать від часу; соответственноергодическимназивается процес, вероятностние характеристики якого не залежать від номера реалізації.

Отже, стаціонарний неергодическийслучайний процес - це такий процес, у якого еквівалентні тимчасові перетини (вероятностние характеристики не залежать від поточного часу), але не еквівалентні реалізації (вероятностние характеристики залежать від номера реалізації). Нестаціонарний ергодическийпроцесс - це процес, у якого еквівалентні реалізації (вероятностние характеристики не залежать від номера реалізації), але не еквівалентні тимчасові перетини (вероятностние характеристики залежать від поточного часу). Класифікуючи випадкові процеси на основі цих ознак (стаціонарність і ергодичність), одержуємо наступні чотири класи процесів: стаціонарні ергодические, стаціонарні неергодические, нестаціонарні ергодические, нестаціонарні неергодические.

Облік і використання описаних властивостей випадкових процесів відіграє велику роль при плануванні експерименту по визначенню їх вероятностних характеристик.

Оскільки вимір являє собою процедуру перебування величини досвідченим шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів, що реалізують алгоритм, що включає в себе операцію порівняння з відомою величиною, у статичних вимірах повинна застосовуватися міра, що відтворює відому величину.

Типові алгоритми вимірів вероятностних характеристик випадкових процесів, що розрізняються способом застосування міри в процесі вимірів, представляються в наступному виді:

q* [X (t)]= KSdg [X (t)]; (4)

q* [X (t)]= SdKg [X (t)]; (5)

q* [X (t)]= SdgK [X (t)]; (6)

де Sd-оператор усереднення; До-оператор порівняння;

q* [X (t)]-результат виміру характеристики q [X (t)].

Дані алгоритми розрізняються порядком виконання операцій. Операція порівняння зі зразковою мірою (ДО) може бути заключної [див. (4)], виконуватися після реалізації оператора g, але до усереднення [див. (5)] і, нарешті, бути початкової [див. (6)]. Відповідні узагальнені структурні схеми засобів вимірів значень вероятностних характеристик представлені нарис. 2.

На цих малюнках для позначення блоків, що реалізують оператори, що входять у вираження (4) - (6), використовуються ті ж позначення. Так, g-пристрій, що виконує перетворення, що лежить в основі визначення вероятностной характеристики q; Sd-пристрій усереднення (сумматор чи інтегратор); До-компаратор (сравнивающее пристрій), ам-мера, за допомогою якої формується відома величина (q., g.,x.)

Представлене нарис. 2, асредство вимірів реалізує наступну процедуру: на вхід надходить сукупність реалізацій {xi(t)} (при використанні усереднення за часом - одна реализацияхі,(t)-, на виході вузла g маємо сукупність перетворені реалізації {g[xi(t)]}; після усереднення одержуємо величину Sd{g[xi(t)]}, що надходить на компаратор, що здійснює порівняння з відомою величиною qо, у результаті чого одержуємо значення вимірюваної вероятностной характеристики q*[X(t)].

Відмінність процедури, реалізованої засобом вимірів, представленим нарис. 2, б, полягає в тім, що після формування сукупності {g [xi(t)]} вона надходить не на усреднитель, а на компаратор, що виконує порівняння з відомої величинойgо; на виході компаратора формується числовий масив {g* [xi(ti)]} і усереднення виконується в числовій формі. На виході усреднителя Sdимеем результат виміру q* [X(t)].

Засіб вимірів (мал. 2, в) засновано на формуванні масиву числових еквівалентів миттєвих значень реалізації випадкового процесах (t), після чого перетворення g і усереднення виконуються в числовій формі. Це пристрій еквівалентний послідовному з'єднанню аналого-цифрового перетворювача (АЦП) і обчислювального пристрою (процесора). На виході АЦП формується масив миттєвих значень, а процесор по визначеній програмі забезпечує реалізацію операторів g і Sd,

Погрішність результату виміру вероятностной характеристики випадкового процесу

Dq* [X(t)]= q*[X(t)]-q [X(t)].(7)

Для статистичних вимірів характерно обов'язкова наявність складової методичної погрішності, обумовленою кінцівкою обсягу вибіркових даних про миттєві значення реалізації випадкового процесу, тому що при проведенні фізичного експерименту принципово не може бути використаний нескінченний ансамбль чи реалізації нескінченний часовий інтервал. Співвідношення (7) визначає результуючу погрішність, що включає в себе як методичну, так і інструментальну складові. Надалі будуть приводитися співвідношення тільки для визначення специфічної для статистичних вимірів методичної погрішності, обумовленою кінцівкою числа реалізації і тимчасового інтервалу.

2. ВИМІРУ МАТЕМАТИЧНОГО ЧЕКАННЯ ИДИСПЕРСІЇ ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ

Математичне чекання і дисперсія випадкового процесу - основні числові вероятностние характеристики, вимір яких відіграє велику роль у практиці наукових досліджень, керування технологічними процесами й іспитів.

При вимірі математичного чекання результатом виміру є середнє за часом чи по сукупності миттєвих значень реалізації досліджуваного випадкового процесу. Усереднення за часом застосовується на практиці істотно частіше, ніж усереднення по сукупності, оскільки працювати з однією реалізацією зручніше і простіше, ніж із сукупністю. Нарис. 3приведена структурна схема пристрою, що реалізує алгоритм

t

M* [X (t)]= 1/T ò xk (t) dt.

t-T

На рисункед-преобразователь вимірюваної величини в електричний сигнал (датчик); НП - перетворювач, що нормує, перетворюючий вхідний сигнал у стандартний по виду і діапазону значень; И - інтегратор; ВУС - пристрій сполучення, що забезпечує узгодження виходу інтегратора з входами цифрового вольтметра і приладу, що реєструє;

ЦИП - цифровий прилад (наприклад, цифровий вольтметр);

Прилад, що рп-регистрирует, (самописний прилад).

Для оцінки середнього квадратического значення погрішності, обумовленою кінцівкою обсягу вибіркових даних,

можна користатися наступними співвідношеннями:

1/2

s =[2D[X(t)] tk/T]

при усередненні за часом T і

1/2

s =[D[X(t)]/N]

при усередненні по совокупности. Здесь[X(t)]-дисперсія процесах(t), а tk- інтервал кореляції. Дисперсія випадкового процесу характеризує математичне чекання квадрата відхилень миттєвих значень реалізації випадкового процесу від математичного чекання. Таким чином,

T 2

D[X(t)]= lim 1/T ò [xk(t)-[X(t)]]dt

T(r)¥ 0

чи

N 2

D[X(t)]= lim 1/N S [xi(t)-[X(t)]] dt

N(r)¥ i=1

Можливі різні варіанти побудови пристроїв для виміру дисперсії випадкового процесу - дисперсиометров. Нарис. 4приведена структурна схема засобу вимірів дисперсії випадкового процесу, тобто працюючого відповідно до вираження

t t 2

D* [X(t)]=1/T ò [xk(t) - 1/T1 òxk(t)dt]dt

t-T t-T1

На рисункенп - перетворювач, що нормує; И1ії2 - інтегратори; пристрій, Що Ву-вичитает; Ку-квадратирующее пристрій; ВУС - пристрій сполучення; ЦИП - цифровий прилад; РП - прилад, що реєструє.

Середня квадратическая погрішність через кінцівку обсягу вибіркових даних про миттєвий значенияхх (t) може бути визначена за допомогою співвідношень

2 1/2

s =[2D[X (t)] tk/T]

, где[X2(t)]- дисперсіях (t);T-час усереднення.

При усередненні по совокупностиNреализаций

2 1/2

s =[D[X (t)] /N]

3. ВИМІР ФУНКЦІЙ РОЗПОДІЛУ ІМОВІРНОСТЕЙ

Одномірна інтегральна функція розподілу вероятности(X) дорівнює імовірності того, що миттєве значення довільної реалізації в довільний момент часу менше встановленого рівня, тобтоXi(ti)£X. Функция(X) визначається як межа вибіркового середніх:

F (X)= lim Sd[j [x(t) ,X]],

d(r)¥

1 прих(t) £ X

Де j[x(t) ,X]=

0 прих(t) > X

Оскільки интегральние (X) і дифференциальниеw(X) функції розподілу імовірності зв'язані між собою співвідношеннями

X

w(X) =(dF(X))/dX;F(X)= òw(X)dX

- ¥

справедливе вираження

w(X) = lim ((F(X+ DX)-F (X))/ DX)= lim ((Sd[Dj[x(t) ,X]])/ DX)

DX(r)0 DX(r)0

1 при X < x(t) £ X+ DX

де Dj [x(t) ,X]=

0 прих(t) £ X,x(t) > X+ DX

Як приклад розглянемо засіб вимірів для визначення інтегральної функції розподілу імовірності рівня електричного сигналу. Схема засобу вимірів, що реалізує алгоритм

t

F* (X)=1/T ò j [xk(t) ,X]dt,

t-T

показана нарис. 5, гдепу - граничний пристрій, що формує сигналхк(t}-X; пристрій, Що Фу-формирует; І-інтегратор, на виході якого виходить сигнал F* (X) при встановлених значенияххит; ВУС - пристрій сполучення;

ЦИП - цифровий прилад; РП - прилад, що реєструє.

Середня квадратическая погрішність через кінцівку обсягу вибірки визначається для {X) за допомогою співвідношення

2 1/2

s =[2(F - F) tk/T]

при усередненні за часом і за допомогою співвідношення

2 1/2

s =[2(F - F)/N]

при усередненні по сукупності. Для (X) відповідні співвідношення мають вид:

2 1/2

s =[2(w-wDX) tk/T]

2 1/2

і s =[(w - wDX)/N]

У приведених співвідношеннях F иw- щирі значення вимірюваних функцій при данномх.

4. ВИМІРУ КОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ

Для випадкового процесу з нульовим математичним чеканням кореляційна функція дорівнює:

Rx(s, t) = lim Sd[xi(t)xi-s(t- t)],

d (r)¥

де t і s - відповідно зрушення в часі й у просторі реалізації миттєвих значень, що перемножуються.

У практичних задачах велику роль грають стаціонарні випадкові процеси, тобто процеси з постійними вероятностними характеристиками, що не залежать від поточного часу. Серед випадкових процесів можна виділити ергодические процеси, для яких

t

Rx(t) = lim 1/T òx(t)x(t-t)dt,

T (r)¥ 0

Велике значення кореляційного аналізу в різних областях науки і техніки привело до створення безлічі вимірювальних приладів для вимірів кореляційних функцій - коррелометров.

Типова структура коррелометра, у якому використовується усереднення за часом, представлена нарис. 6. При цьому реалізується наступний алгоритм:

t

R*x(t) = 1/T òxk(t)xk(t-t)dt,

t-T

Як видно, після що нормує преобразователянпсигнал надходить у пристрій тимчасової затримки УЗ і на що перемножує устройствопу, що здійснює перемножування миттєвих значень, зрушених за часом на інтервал т. Далі за допомогою интегратораивиполняется усереднення, після якого результуючий сигнал через ВУС подається на цифровий приборципили що реєструє приборрп.

Середні квадратические погрішності, обумовлені кінцівкою обсягу вибіркових даних про миттєві значення реалізації процесах (t), оцінюються за допомогою співвідношень:

1/2

s ={2D[xk(t)xk(t-t)] tk/T}

при усередненні по временити

1/2

s ={D[xk(t)xk(t-t)]/N}

при усередненні по сукупності.

5. АНАЛІЗ СПЕКТРА ПОТУЖНОСТІ

Спектр потужності характеризує її частотний розподіл, і він може бути визначений у відповідності з наступними формулами:

2

Sx(w) = lim 1/T |xiT(w) |

T (r)¥

Де

t -jwt'

XiT (w) = ò xi (t') e dt'

t-T

Нарис. 7зображена схема аналізатора спектра потужності випадкового процесах (t).

З виходу що нормує преобразователянпі-я реалізація випадкового процессахі(t) надходить на блок Ф, що виконує перетворення Фур'є, після чого узломквпроизводится зведення в квадрат і нормування з урахуванням інтервалу усредненият. За допомогою пристрою сопряженияуссформированний сигнал надходить наципи регистраторрп.

В даний час вітчизняною промисловістю серійно випускаються аналізатори випадкових процесів. До них відносяться багатофункціональний статистичний перетворювач Ф790, корреллометр Ф7016, комплекс вимірників характеристик випадкових сигналів Х6-4/а, багатофункціональні вимірники вероятностних характеристик Ф36 і Ф37, аналізатори спектра Ф4326, Ф4327, Ф7058 і ін. За допомогою цих приладів і пристроїв можна вимірювати математичні чекання і дисперсії, а також значення функцій розподілу імовірності, кореляційних і спектральних функцій з наступним відновленням виду самих функцій. Перераховані аналізатори розраховані в основному на уніфікований вхідний сигнал і дозволяють вимірити від 256 до 4096 ординат аналізованої функції. Погрішність виміру не перевищує ±5 %.

Крім того, для визначення вероятностних характеристик випадкових сигналів можуть використовуватися електровимірювальні прилади, призначені для виміру середнього і діючого значень сигналу. Для визначення середнього значення застосовують магнітоелектричні прилади і цифрові інтегруючі прилади. Для визначення середнього квадратического відхилення використовують прилади, показання яких визначаються діючим значенням сигналу (термоелектричні, електростатичні й ін.).

Кореляційні пристрої набули застосування в різних областях науки і техніки для виміру різних величин. Як приклад можна вказати кореляційний пристрій для виміру швидкості прокатки. Ці пристрої вимірюють кореляційну функцію, що залежить від т, що, у свою чергу, залежить від швидкості прокатки.

Список літератури :

1. Метрологія й електровимірювальні прилади. Душин М. Е.\М.: Енергоатомиздат,1986.

2. Метрологія, стандартизація і виміри в техніку зв'язку. Під ред. Б. П. Кульгавого

М.: Радіо і зв'язок, 1986.

3. Основи метрології і стандартизації. Голубєва В. П. \М.: Вектор, 1996.